Crescimento, Decrescimento e Concavidades de Funções

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Derivadas - Crescimento, Decrescimento e Concavidades de Funções

Crescimento e Decrescimento de Funções

 

No estudo das derivadas, uma importante aplicação é aquela que se refere ao crescimento e decrescimento de uma função.

De modo intuitivo, dizemos que uma função é crescente quando o seu gráfico, quando olhado da esquerda para a direita, sempre “sobe”; a função é dita decrescente quando o gráfico, observado da esquerda para a direita, “desce”. Caso nenhuma dessas duas condições ocorra, dizemos que a função é constante e o seu gráfico será horizontal.

A seguir, veja um exemplo de uma função crescente:

gráfico de uma função crescente

Agora, veja uma função decrescente:

gráfico de uma função decrescente

Finalmente, uma função constante:

gráfico de uma função constante

Exemplo de crescimento e decrescimento

 

Vejamos o gráfico da função f(x) = -3x5 + 5x3 a seguir:

crescimento e decrescimento de uma função no gráfico

Perceba o comportamento da função ao longo do eixo x:

 

- em ]-∞;-1[ a função é decrescente;

 

- em ]-1;1[ a função é crescente;

 

- em ]1;+∞[ a função é decrescente.

 

Para sabermos, analiticamente, o comportamento de uma função com relação ao seu crescimento e decrescimento, devemos analisar o comportamento da primeira derivada dessa função.

 

Teorema - Crescimento e Decrescimento

 

Seja uma função f, definida no conjunto dos reais, contínua no intervalo ]a,b[ e derivável em todos os pontos desse intervalo.

 

a) Se f’(x)>0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f será estritamente crescente no intervalo ]a,b[.

 

b) Se f’(x)<0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f será estritamente decrescente no intervalo ]a,b[.

 

Método prático

 

para determinarmos os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função f(x), nos pontos do domínio em que estiver definida e que satisfizer o teorema anterior, devemos calcular a f’(x) e fazer o estudo do sinal dessa derivada. Aonde o sinal de f’(x) for positivo, a função f(x) é crescente; aonde o sinal de f’(x) for negativo, a função f(x) é decrescente.

 

Ponto Crítico

 

Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f '(c)=0.

 

Em outras palavras, o ponto crítico pode ser definido como sendo o ponto em que uma função contínua deixa de ser crescente e passa a ser decrescente ou vice versa.

 

 

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Exemplo 1

 

Descrever os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = x2+2x-3.

 

A resolução deste exemplo está disponível em vídeo aula (link a seguir).

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Exemplo 2

 

Estudar o crescimento e decrescimento da função f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 12.

 

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Exemplo 3

 

Estudar o crescimento e decrescimento da função f(x) = 1/x.

 

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Exemplo 4

 

Estudar o crescimento e decrescimento da função f(x) = -x4 + x3.

 

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Estudo da Concavidade de uma Função

 

Uma função pode apresentar dois tipos de concavidade: para cima ou para baixo.

 

- Exemplo de uma função com a concavidade para cima:

função com concavidade para cima

- Exemplo de uma função com a concavidade para baixo:

função com concavidade para baixo

Exemplo das concavidades em uma função

 

Vejamos o gráfico a seguir que representa a função f(x) = -x5 + 2x4 + x3 – 2x2 – x.

gráfico de função para análise das concavidades

Vamos identificar os pontos em que ocorre a mudança de concavidade:

gráfico mostrando os pontos de inflexão e concavidades

A partir desse gráfico, podemos dizer que a função f possui:

 

- concavidade para cima no intervalo ]-∞;a[ ;

 

- concavidade para baixo no intervalo ]a;b[ ;

 

- concavidade para cima no intervalo ]b;c[ ;

 

- concavidade para baixo no intervalo ]c;+∞[ .

 

Note, portanto, que os pontos A, B e C correspondem à mudança de concavidade da função f. Esses pontos são chamados de pontos de inflexão.

 

Pontos de Inflexão

 

São os pontos em que o gráfico de uma função muda a sua concavidade de “para cima” para “para baixo” ou vice versa.

 

Análise das concavidades

 

Para analisar a concavidade de uma função, é necessário analisar o comportamento da segunda derivada dessa função.

 

Teorema

 

Seja uma função f, definida no conjunto dos reais, contínua no intervalo ]a,b[ e que admite primeira e segunda derivadas em todos os pontos desse intervalo.

 

a) Se f’’(x)>0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f terá concavidade para cima no intervalo ]a,b[.

 

b) Se f’’(x)<0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f terá concavidade para baixo no intervalo ]a,b[.

 

Método prático

 

Para determinarmos as concavidades de uma função f(x), nos pontos do domínio em que estiver definida e que satisfizer o teorema anterior, devemos calcular f’’(x) e fazer o estudo do sinal dessa segunda derivada de f. Aonde o sinal de f’’(x) for positivo, a função f(x) tem concavidade para cima; aonde o sinal de f’’(x) for negativo, a função f(x) tem concavidade para baixo.

 

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Exemplo 5

 

Fazer o estudo da concavidade da função f(x) = x2+2x-3.

 

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Exemplo 6

 

Fazer o estudo das concavidades da função f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 12.

 

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Exemplo 7

 

Fazer o estudo das concavidades da função f(x) = 1/x.

 

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Exemplo 8

 

Fazer o estudo das concavidades da função f(x) = -x4 + x3.

 

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Exemplos de Crescimento, Decrescimento e Concavidades

 

Exemplo 9

 

Fazer o estudo do crescimento e decrescimento da função f dada a seguir. Depois, fazer o estudo das concavidades.

 

f(x) = x3/3 – 2x2 + 3x + 5

 

 

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