Limites e Derivadas

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Listas de Exercícios Resolvidas - Limites e Derivadas

Lista de Exercícios 1

 

Exercício 1

Seja a função

Calcule os limites a seguir:

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Exercício 2

Calcule o limite a seguir:

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Exercício 3

Dada a função

determine a expressão correspondente a f '(x).

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Exercício 4

Determine a primeira derivada da função a seguir:

 

g(x) = 7ex + 9 ln(x) + 3x4 – 4x + 100

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Exercício 5

Seja y = x . ln(x). Calcule y’.

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Exercício 6

Calcule a derivada da função

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Exercício 7

Derive a função g(x) = (x2 – 1)(x3 + 4).

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Lista de Exercícios 2

 

Exercício 1

Utilizando a Regra de L’Hospital, calcule o limite a seguir:

 

limite por L'Hospital
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Exercício 2

Calcule o limite a seguir:

limite lateral
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Exercício 3

Seja a função

determine a expressão correspondente a g '(x).

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Exercício 4

Derive a função

 

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Exercício 5

Calcule a primeira derivada da função y = ln [ sen (x3 - 1) ].

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Exercício 6

O ponto de inflexão de uma função é aquele em que, graficamente falando, ocorre a mudança de concavidade. Determine o valor de x correspondente ao ponto de inflexão da função a seguir:

f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 7.

 

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Exercício 7

Deseja-se construir uma caixa retangular aberta cortando-se os cantos de um pedaço de papelão quadrado de lado 16 cm e dobrando-se as abas. A folha de papelão está representada na figura 1 onde podemos ver os cantos (quadrados) de lado x que deverão ser recortados. Em seguida, as abas serão dobradas formando a caixa de papelão representada na figura 2. Calcule o valor de x de modo que a caixa tenha o maior volume possível.

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Lista de Exercícios 3

Exercício 1

enunciado Regra de L'Hospital para cálculo de limites
calcular limite por L'Hospital - item a
calcular limite por L'Hospital - item b
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Exercício 2

 

Se se quisesse fazer uma caixa com uma folha de papel quadrada de 24cm de lado seria necessário recortar os quatro cantos dessa folha. Esse corte teria o formato quadrado de tamanho L, para que os lados da caixa tivessem a mesma altura. Para cada L diferente teremos um volume diferente. Abaixo há alguns exemplos de folhas com os cantos recortados:

maximizar o volume de uma caixa

a) Calcule o valor de L para que o volume da caixa seja máximo. Utilize conceitos de derivadas na resolução.

 

b) Utilizando o resultado do item a, calcule o volume máximo dessa caixa.

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Exercício 3

 

Considere a função f(x) = x3 – 3x2 definida no conjunto dos reais.

 

a) As raízes de uma função são importantes para a construção de um gráfico, visto que elas correspondem aos pontos em que o gráfico cruza o eixo das abscissas (x). Obtenha as raízes reais da função f(x) dada.

 

b) Calcule a primeira derivada de f(x) e, a partir do estudo do sinal de f’(x), faça o estudo do crescimento e decrescimento da função f(x).

 

c) Calcule a segunda derivada de f(x) e, a partir do estudo do sinal de f’’(x), faça o estudo das concavidades (para cima ou para baixo) da função f(x).

 

d) Construa o gráfico da função f(x) utilizando o par de eixos a seguir e usando os resultados obtidos nos itens anteriores. Sabe-se, ainda, que

limites questão 3
plano cartesiano em branco
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Exercício 4

 

Utilizando a Regra da Cadeia e a Regra do Produto, calcule a primeira derivada da função

f(x) = 4x3 ln⁡(5x+1).

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Exercício 5

 

Considere a função f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1. São feitas as afirmações:

 

I. x = 3 é um ponto de mínimo local.

II. x = –1 é um ponto de máximo global.

III. x = 1 é um ponto de inflexão.

 

Estão corretas:

 

a) apenas uma das afirmações.

b) apenas I e II.

c) apenas II e III.

d) apenas I e III.

e) todas as afirmações.

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Exercício 6

 

A derivada com relação ao tempo da função horária do espaço fornece a expressão da velocidade. A derivada da velocidade fornece a expressão da aceleração. Essas afirmações constam em livros de cálculo e física. Assim, sabendo que expressão da função horária do espaço é

função horária dos espaços

em que S0, V0 e a são constantes reais, a expressão da aceleração será:

alternativas da questão 6
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Exercício 7

 

Funções polinomiais possuem diversas aplicações práticas na agricultura, nas ciências ambientais e ciências econômicas. Seja a função polinomial f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 4. A respeito dessa função, considere as afirmações:

 

I. A função é decrescente no intervalo 1≤x≤3.

II. A função não admite ponto de máximo global.

III. Em x=2 encontramos um ponto de inflexão.

IV. Considerando o intervalo 0≤x≤2, a função admite um máximo local em x=1.

 

Quantas das afirmações estão corretas?

 

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

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Exercício 8

 

Seja a função

alternativas da questão 6

O valor da primeira derivada de f(x) calculada no ponto a corresponde ao valor de f '(a) que é igual a:

 

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) a.

e) 2a.

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Exercício 9

 

O gráfico de f(x) = –x4 + x3 + 2x2 + 1 está mostrado a seguir:

alternativas da questão 6

Baseado nessas informações, considere as seguintes afirmações:

 

I. A função f(x) possui duas raízes reais.

II. A função apresenta um ponto de mínimo global em x=0.

III. Dentro do intervalo [1,2], a função possui um ponto de máximo global.

IV. A função f(x) possui três pontos críticos.

V. A função f(x) possui dois pontos de inflexão.

 

Quantas das afirmações anteriores estão corretas?

 

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

 

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Exercício 10

 

A Cia. Gama Ltda. produz um determinado produto e vende–o com um lucro total dado por

L(q)= –q3+12q2+60q–4, onde q representa a quantidade produzida. Qual é o valor do lucro máximo?

 

a) 2796

b) 1596

c) 796

d) 156

e) 84

 

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