Análise Combinatória - Teoria e Exemplos

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Análise Combinatória - Teoria e Exemplos

A análise combinatória tem por objetivo resolver problemas de contagem. Muitas vezes é complicado realizarmos contagens segundo critérios de ordenação, repetição ou agrupamento; porém, com o auxílio da análise combinatória, esse procedimento torna-se relativamente simples.

 

O estudo da análise combinatória é de grande interesse nos mais diversos campos:

 

•na química estuda-se as possíveis uniões entre átomos;

•o diretor de um colégio faz várias combinações para montar a grade horária de aulas;

•a lingüística estuda os possíveis significados de símbolos de uma língua desconhecida;

•a polícia faz combinações na tentativa de decifrar gírias e códigos utilizados por bandidos;

•o DETRAN calcula o número de placas de automóveis disponíveis em determinado Estado;

•o estudo da probabilidade utiliza-se com freqüência da combinatória.

 

Antes de continuarmos no estudo da combinatória, precisamos ver o que é fatorial.

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Fatorial

 

Seja n um número natural e maior ou igual a 2. Definimos o fatorial do número n pelo símbolo n! tal que

definição de fatorial

Por definição,

 

0! = 1

1! = 1.

 

Exemplos

 

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

3! = 3.2.1 = 6

 

A partir da definição, podemos desenvolver técnicas de simplificação de expressões que envolvam fatoriais. Inicialmente, note que

 

7! = 7.6.(5.4.3.2.1) = 7.6.5!

 

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Veja alguns exemplos de simplificação de expressões numéricas envolvendo fatorial:

expressões com fatorial

Inclusive, podemos simplificar expressões algébricas:

expressões algébricas com fatorial
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Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

 

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é o caso mais simples da análise combinatória. Consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada tipo de ocorrência desde que essas ocorrências ocorram de forma independente. Veja os exemplos a seguir.

 

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Exemplo 1

 

Vamos começar com um caso bastante simples: uma pessoa tem 3 camisas, 2 calças e 2 cintos diferentes. De quantas maneiras essa pessoa pode se vestir?

 

Uma forma de resolver esse problema é utilizando a chamada “árvore de possibilidades”:

 

princípio-fundamental-da-contagem

Percebemos que há 12 formas dessa pessoa se vestir. Porém, note que tal método seria bastante trabalhoso e demorado caso tivéssemos 10 camisas, 6 calças e 5 cintos, por exemplo.

 

Precisamos achar um modo mais prático de se obter tal resultado. Observando com cuidado a árvore, percebemos que temos, inicialmente, 3 camisas. Para cada camisa, há 2 possibilidades. Aqui, já temos 2.3 = 6 possibilidades. Porém, para cada uma dessas 6 possibilidades, há mais 2 formas de se vestir, totalizando 6.2=12 maneiras. Em resumo, se um acontecimento ocorre em n situações sucessivas e independetes, sendo que na 1ª situação ocorre de a1 maneiras, a 2ª de a2, ..., a nª de an, então o total de possibilidades é dado por

 

a1 . a2 .a3 . ... .an

 

Em nosso exemplo, calculamos 3.2.2 = 12. Observação: no caso citado logo após a árvore, em que temos 10 camisas, 6 calças e 5 cintos, teríamos 10.6.5=300 formas diferentes de se vestir.

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Exemplo 2

 

Qual o número de linhas telefônicas móveis (celulares) disponíveis da cidade de São Paulo?

 

Sabemos que os números de telefones são formados por 8 algarismos e que os celulares começam por 7, 8 ou 9. Assim, esquematicamente, o número de possibilidades para cada algarismo é:

 

principio fundamental da contagem

Para o 1° algarismo da esquerda há 3 possibilidades (7, 8 ou 9). Para os 7 algarismos restantes há 10 possibilidades para cada um (0,1,2,...,8,9). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos:

 

3.10.10.10.10.10.10.10 = 3.107 = 30 000 000 = 30 milhões de linhas móveis.

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Permutação sem repetição

 

Este é o primeiro caso que estamos vendo que trata de métodos de contagem com a utilização de uma fórmula. A compreensão desta situação bem como as seguintes dar-se-á através de exemplos de aplicação.

 

Suposições:

 

•não há elementos repetidos;

•a ordem importa;

•todos os elementos são utilizados de uma só vez.

 

A permutação de n elementos é dada por

 

Pn = n!

 

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Cálculo de Permutação em calculadoras científicas

 

Se você quiser calcular uma permutação utilizando alguma calculadora científica, verifique se ela possui um botão (ou uma função) geralmente representada por n! ou por x!.

 

No vídeo a seguir (clique no botão) você verá como calcular a permutação usando uma calculadora científica da Casio.

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Exemplo 3

 

Um caso clássico de permutação é aquele que envolve anagramas. Um anagrama é uma seqüência de letras que se transpõem e que pode ou não ter sentido. Consideremos a palavra LIVRO. São anagramas dessa palavra:

 

LIVRO

IVROL

LROVI

OIRVL

.

.

.

Ao todo, quantos anagramas temos? Vamos utilizar o PFC. Imaginemos que temos 5 bolas, cada uma com uma letra:

principio fundamental da contagem

Temos, também, 5 caixas vazias onde serão colocadas cada uma das bolas (1 bola em cada caixa):

principio fundamental da contagem

Para a 1ª caixa temos 5 possibilidades (qualquer uma das 5 bolas). Colocada essa bola, restam apenas 4 para a 2ª caixa. Depois, restam 3 bolas para a 3ª caixa e assim por diante.

 

Pelo PFC teremos 5.4.3.2.1 = 120 anagramas. Isso corresponde exatamente ao caso de permutação de 5 elementos: P5 = 5! = 120. Note que as suposições foram satisfeitas: não há letras repetidas, todas as letras foram utilizadas simultaneamente e a ordem importa, pois LIVRO é diferente de IVROL.

 

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Exemplo 4

 

De quantas maneiras diferentes podemos colocar 4 pessoas para posar, lado a lado, para uma foto?

 

As suposições para utilizar permutação são satisfeitas e teremos, portanto, P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 fotos possíveis.

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Permutação com repetição

 

Suposições:

 

•a ordem importa;

•temos n elementos dos quais há r1 elementos repetidos do tipo 1, r2 elementos repetidos do tipo 2, ..., rk elementos repetidos do tipo k (k=1,2,3...,n).

 

Neste caso, o número de permutações é dado por:

 

fórmula da permutação com repetição
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Exemplo 5

 

Qual o número de anagramas da palavra ESTATISTICA (ignorando a acentuação)?

 

Temos 11 letras das quais 2 são S, 2 são A, 2 são I e 3 são T. Ignoramos a acentuação pois, caso contrário, as letras I e Í seriam diferentes (devido ao acento). O número de anagramas é:

 

permutação com repetição - exemplo 5
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A idéia deste cálculo é relativamente simples. Seja a palavra MATANÇA (7 letras, 3 repetidas). Ao todo, teríamos P7 = 7! = 5040 anagramas (supondo a não repetição). Fixemos o anagrama TANAMAÇ. Caso as letras “A” fossem distintas, teríamos, para as demais letras fixadas, P3 = 3! = 6 anagramas:

anagramas da palavra MATANÇA

Porém, tais letras são indistinguíveis. Ou seja, para cada disposição das letras, há 6 anagramas idênticos. Logo, o número de anagramas diferentes da palavra MATANÇA é

anagramas da palavra MATANÇA
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Arranjo simples

 

Suposições:

 

•não há elementos repetidos;

•a ordem importa.

 

O arranjo de n elementos tomados p a p é dado por

 

fórmula de arranjo simples
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Cálculo de Arranjo em calculadoras científicas

 

Se você quiser calcular um arranjo utilizando alguma calculadora científica, verifique se ela possui um botão (ou uma função) geralmente representada por nPr.

 

No vídeo a seguir (clique no botão) você verá como calcular o arranjo usando uma calculadora científica da Casio.

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Exemplo 6

 

Uma pessoa dispõe dos símbolos

simbolos ex.6

e quer montar códigos utilizando 3 destes 5 símbolos de modo que não haja repetições de símbolos em cada código. Quantos códigos essa pessoa pode formar?

 

A ordem dos símbolos importa. Assim, temos um arranjo de 5 elementos tomados de 3 em 3:

cálculo de arranjo
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Exemplo 7

 

Numa sala com 10 pessoas, vai-se selecionar aleatoriamente 4 pessoas para se colocar numa fila de atendimento. De quantas maneiras isso pode ser feito?

 

Novamente, a ordem importa, pois ser o 1° da fila é diferente de ser o último. Assim:

 

cálculo de arranjo
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Observação importante

 

Calculemos o arranjo de n elementos tomados n a n (é como se tivéssemos n pessoas numa sala e fossemos selecionar n pessoas – ou seja, todas – para colocá-las numa fila):

arranjo é igual a permutação?

Ou seja, An,n = Pn. Logo, a permutação sem repetição é um caso particular de arranjo.

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Combinação

 

Suposições:

 

•não há elementos repetidos;

•a ordem não importa.

 

A combinação de n elementos tomados p a p é dada por

 

fórmula da combinação
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Cálculo de Combinação em calculadoras científicas

 

Se você quiser calcular uma combinação utilizando alguma calculadora científica, verifique se ela possui um botão (ou uma função) geralmente representada por nCr.

 

No vídeo a seguir (clique no botão) você verá como calcular a combinação usando uma calculadora científica da Casio.

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Exemplo 8

 

Seja um grupo de 10 funcionários de uma empresa. Deseja-se formar uma comissão de 4 pessoas. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?

 

Note que a ordem não importa, visto que, escolhendo as pessoas A,B,C e D ou B,D,C e A estamos formando a mesma comissão (o que importa é que as 4 pessoas foram escolhidas e não a ordem com que elas foram escolhidas). Utilizaremos a combinação de 10 elementos tomados 4 a 4:

 

cálculo usando combinação
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Exemplo 9

 

Suponhamos, agora, que tenhamos, dentre os 10 funcionários, 6 homens e 4 mulheres. Queremos formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres. Neste caso, vamos iniciar calculando o número de trios masculinos que podemos formar:

E o número de duplas femininas:cálculo usando combinação

E o número de duplas femininas:

E o número de duplas femininas:cálculo usando combinação

Pelo PFC, teremos 20.6 = 120 comissões. Justificativa do uso do PFC: para cada trio masculino podemos formar comissões com qualquer uma das duplas femininas, ou seja, o trio 1 masculino pode-se juntar a uma das 6 duplas femininas; o trio 2 masculino pode se juntar a uma das 6 duplas femininas e assim por diante.

 

Até o momento demos alguns exemplos simples utilizando a análise combinatória com o objetivo de entendermos os usos e diferenças entre os casos de Análise Combinatória. Vale ressaltar que os métodos aqui apresentados não são os únicos existentes. Não trataremos deles aqui, mas é bom que se saiba sobre suas existências: arranjos com repetições, combinações com repetições, permutações circulares, dentre outros.

 

Agora, daremos alguns exemplos práticos e um pouco mais sofisticados envolvendo os casos de combinatória vistos.

 

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