Exemplos resolvidos de Análise Combinatória

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Exemplos Resolvidos de Análise Combinatória

Exemplo 10: cardápio de um restaurante

 

Em um determinado restaurante, o gerente deseja fazer uma propaganda informando aos consumidores a grande variedade de combinações de pratos que seu cliente poderá fazer. Assim, ele deseja calcular o número de possibilidades sabendo-se que o cliente escolherá uma entrada dentre 8 possíveis, um prato principal dentre 15 diferentes e uma sobremesa dentre 10 disponíveis.

 

Neste caso, utilizaremos o princípio multiplicativo, visto que cada entrada poderá ser escolhida com qualquer um dos 15 pratos principais que por sua vez, cada um deles, podem acompanhar qualquer uma das 10 sobremesas.

 

O número total de combinações é: 8 . 15 . 10 = 1200 possibilidades.

 

Assim, na propaganda, o gerente poderá informar aos seus clientes que o restaurante possui ao todo 1200 refeições diferentes.

 

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Exemplo 11: placas de carros

 

Suponhamos que as placas de carros com iniciais B, C e D pertençam à cidade de São Paulo (ou seja, ABC 1234 não pertence, por exemplo). Na elaboração de placas, o Detran utiliza-se de todas as letras do alfabeto (incluindo K, Y e W) o que totaliza 26 letras. Suponha, ainda, que nenhuma placa tenha quatro dígitos iguais a zero, ou seja, não existe uma placa do tipo BBC 0000. Pode haver repetição de número e letras. Quantos carros poderão ser emplacados supondo-se a utilização de todas as combinações possíveis em São Paulo?

 

Utilizaremos, inicialmente, o princípio multiplicativo. A seguir representaremos por quadrados os “lugares” onde podemos colocar as letras e números (os 3 primeiros são letras e os demais, números). O valor dentro dos quadrados indica o total de possibilidades para cada posição.

 

definição de fatorial

Note que no primeiro quadrado há 3 possibilidades, visto que estão disponíveis apenas as iniciais B, C e D. Em azul temos os números. São dez possibilidades, pois podemos usar qualquer um dos algarismos de 0 à 9.

Pelo princípio multiplicativo teremos: 3.26.26.10.10.10.10 = 20280000 possibilidades.

 

Porém, devemos lembrar que não existem placas do tipo # # # 0 0 0 0. Assim, calcularemos o número de placas que levam 4 “zeros”:

 

definição de fatorial

Pelo princípio multiplicativo teremos 3.26.26 = 2028 placas desse tipo.

 

Assim, o número de placas disponibilizados pelo Detran é

 

20 280 000 – 2028 = 20 277 972 placas.

 

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Exemplo 12: senhas bancárias

 

Atualmente é cada vez mais comum o uso de serviços bancários via Internet. Porém, também é cada vez maior o número de hackers que tentam invadir sistemas bancários para desviar dinheiro. Assim, a preocupação com a segurança também aumenta. Além de campanhas preventivas do tipo “jamais divulgue sua senha a um estranho”, “o banco não solicita sua senha por e-mail”, “troque sua senha periodicamente”, alguns bancos tem feitos caríssimos investimentos para melhorar a segurança dos internautas. Uma delas é o aumento do número de dígitos que compõe a “senha eletrônica” quando comparada a “senha do cartão”.

 

Muitos bancos utilizam para a senha do cartão 4 dígitos numéricos, o que nos daria um total de aproximadamente 10.10.10.10 = 10 000 senhas diferentes. Digo “aproximadamente” pelo fato que muitos bancos não aceitam senhas seqüenciais como 2222 ou que contenha data de aniversário ou repetições óbvias do tipo 1212.

 

Já na Internet, temos bancos que utilizam 8 dígitos numéricos para compor a senha. Neste caso temos 108 = 100 000 000 de combinações diferentes aproximadamente (novamente, devido aos motivos citados). Neste caso, é claro que a segurança é maior, pois são 99 990 000 números a mais. Porém, mais recentemente, outros bancos passaram a se utilizar de 8 caracteres, o que permite incluir letras e números. Considerando, ainda, que o sistema faz uma distinção entre letras maiúsculas e minúsculas teremos um total de, nada mais, nada menos que

 

628 = 218 340 105 584 896 ~ 218 trilhões de senhas diferentes.

 

Assim, seria muita, mas muita sorte mesmo, alguém “adivinhar” sua senha ou alguém acessar uma conta bancária de outra pessoa “por engano”.

 

Como chegamos ao número acima?

 

Inicialmente pense que você tem 8 quadrados para alojar dentro deles números ou letras (maiúsculas e/ou minúsculas). Dessa forma, teremos, para cada dígito 10 número (de 0 à 9), 26 letras maiúsculas (de A à Z) e outras 26 minúsculas. Como 10+26+26 = 62 então:

 

definição de fatorial

Daí usamos, mais uma vez, o princípio multiplicativo obtendo 628 senha diferentes.

Com tudo isso, será que realmente estamos seguros...?

 

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Exemplo 13: gincana

 

Numa gincana de televisão, o apresentador possui 5 cartelas contendo uma sílaba de uma palavra. O jogador deve adivinhar que palavra é essa conhecendo-se algumas de suas sílabas.

 

Neste caso, é claro, muitas das possibilidades não serão consideradas pelo jogador devido às regras da gramática portuguesa. Então, o jogador não necessitaria saber todas as combinações possíveis para adivinhar qual a palavra que contém as sílabas:

 

definição de fatorial

Neste caso a palavra é ARTESANATO. Fácil, não?

 

Porém, suponhamos que a palavra apresentada seja desconhecida ou, pelo menos, pouco comum. Por exemplo:

 

definição de fatorial

Neste caso, talvez fosse interessante o jogador manipular os cartões colocando-se nas mais diversas ordens até que obtivesse a palavra procurada. Assim, algumas das possibilidades seriam:

 

CI-DA-GA-NU-DE

DA-NU-GA-CI-DE

DA-CI-GA-DE-NU

NU-DA-CI-GA-DE

DE-NU-GA-CI-DA

 

E assim por diante. Visto que ele está colocando os cartões em ordens diferentes e cada cartão é diferente do outro e, ainda, a ordem faz diferença, notamos que estamos num caso de permutação.

 

O número total de combinações que o jogador poderá fazer até achar a palavra é calculado por:

 

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 anagramas.

 

Um anagrama é uma ordenação qualquer das letras de uma palavra.

 

Podemos dizer que, neste caso, não seria tão fácil, nem tão rápido, acharmos a palavra desejada.

 

E você descobriu qual palavra é? A resposta é NUGACIDADE que, segundo o dicionário Aurélio, significa futilidade, nulidade, insignificância.

 

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Exemplo 14: corrida

 

Numa corrida de automóveis, largam 15 carros. Porém, apenas os seis primeiros serão premiados. Diversas pessoas fizeram apostas e ganha aquela que conseguir acertar as 6 primeiras colocações exatamente na ordem de chegada (ou seja, não basta dizer apenas quais foram os seis primeiros, mas é preciso acertar quem foi o primeiro, o segundo e assim por diante).

 

Neste caso, podemos verificar quantos jogos seriam possíveis fazer, ou melhor, quantos resultados diferentes a corrida poderia ter. Deve estar claro que a ordem de chegada é importante. Como apenas os 6 primeiros são premiados, estamos trabalhando com um caso de arranjo. Assim, temos que escolher 6 pilotos de um total de 15:

 

cálculo de arranjo ex. 15

Ou seja, há pouco mais de três milhões e meio de resultados diferentes.

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Exemplo 15

 

Quatro carros (c1, c2, c3, c4) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?

 

Observe que a ordem importa, visto que chegar em primeiro lugar é diferente de chegar em terceiro. Logo, podemos utilizar um caso de arranjo:

 

A4,3 = 24 “chegadas” diferentes.

 

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Exemplo 16

 

Os números de telefone de São Paulo (DDD 11) têm 8 algarismos. Determine o número máximo de telefones que podem ser instalados, sabendo-se que os números não podem começar com zero nem com um.

 

Vamos utilizar o PFC, visto que os algarismos podem ser repetidos. Note que para o primeiro algarismo só há 8 possibilidades (2, 3, ..., 9). Os demais algarismos podem ser valores de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades:

 

cálculo de arranjo ex. 15

Pelo PFC temos: 8.10.10.10.10.10.10.10 = 80.000.000 = 80 milhões de telefones.

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Exemplo 17

 

Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um coordenador pedagógico, sendo que a mesma pessoa não pode assumir mais de um cargo simultaneamente. Quantas são as possibilidades de escolha?

 

Novamente, utilizando o PFC temos:

 

Diretor = 18 possibilidades

Vice-diretor = 17 possibilidades (visto que uma pessoa já foi escolhida para diretor)

Coordenador = 16 possibilidades (pois já escolhemos um diretor e um vice)

 

Total de possibilidades = 18 . 17 . 16 = 4896.

 

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Exemplo 18

 

Resolver a equação Ax, 2 = 12.

 

Utilizando a fórmula de arranjo e os conhecimentos de fatoriais temos:

 

cálculo de arranjo ex. 15
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Exemplo 19

 

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?

 

Trabalhando com o PFC, temos as possibilidades:

 

cálculo de arranjo ex. 15

O total de números é 6.5.4 = 120.

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Exemplo 20

 

Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?

 

Este exemplo é muito similar ao anterior. Porém, aqui, temos que ter cautela com o zero, visto que um número nunca deve ser iniciado com zero. Porém, temos uma segunda restrição, que é o fato de o número ser par e, neste caso, ele deve terminar com 0, 2, 4 ou 6. Percebemos que o zero faz parte de duas restrições (primeiro e último algarismos). Assim, vamos considerar duas situações:

 

I. o número termina com zero: neste caso, o último algarismo está fixado (zero). Logo, temos 6 possibilidades para o primeiro algarismo (1,2,3,4,5 ou 6). Assim, as possibilidades serão:

 

cálculo de arranjo ex. 15

Ou seja, teremos 6.5.4.1 = 120 números.

 

II. o número termina em 2, 4 ou 6 (três possibilidades). O primeiro algarismo não pode ser zero, restando 5 possibilidades. O segundo algarismo pode ser zero, bastando que não seja igual ao primeiro e ao último algarismos definidos. Assim:

 

cálculo de arranjo ex. 15

O total de número é: 5.5.4.3 = 300.

 

Logo, o total de número procurado é a soma dos resultados obtidos em I e II, ou seja, 120 + 300 = 420.

 

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Exemplo 21

 

Resolver a equação Cx, 2 = 15.

cálculo de arranjo ex. 15

Como a condição de existência é x maior ou igual a 2, temos S={6}.

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Exemplo 22

 

Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas?

 

Note que a ordem não importa, visto que uma comissão formada pelas pessoas A, B e C ou uma comissão B, C e A representam o mesmo grupo de pessoas. Então, utilizando combinação teremos

 

C5,3 = 10 comissões.

 

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Exemplo 23

 

Em um ambiente de trabalho há 7 homens e 4 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de 5 pessoas sendo que 3 são homens e 2 são mulheres. Quantas comissões podem ser formadas?

 

Este é uma variação do exemplo anterior. Inicialmente, calculamos o número de comissões possíveis só de homens e só de mulheres:

 

Homens: C7,3 = 35

Mulheres: C4,2 = 6

 

Como nossas comissões serão compostas por homens e mulheres, basta multiplicarmos os resultados: 35 . 6 = 210 comissões com cinco pessoas.

 

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Exemplo 24

 

Temos um grupo de 3 homens e 5 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de 4 pessoas sendo que deve haver pelo menos 1 homem presente. Quantas comissões podem ser formadas?

 

Esta é uma variação do exemplo anterior. Temos que calcular caso a caso a quantidade de homens e mulheres presentes nas comissões:

 

I.1 homem e 3 mulheres: C3,1 . C5,3 = 3 . 10 = 30

II.2 homens e 2 mulheres: C3,2 . C5,2 = 3 . 10 = 30

III.3 homens e 1 mulheres: C3,3 . C5,1 = 1 . 5 = 5

 

Como a comissão será do tipo I ou tipo II ou tipo III, devemos somar os resultados obtidos: 30 + 30 + 5 = 65 comissões.

 

Perceba que não consideramos o caso de 4 homens e 0 mulheres, visto que havia apenas 3 homens no grupo considerado.

 

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Exemplo 25

 

Sobre uma circunferência marcam-se 8 pontos. Quantos triângulos podemos construir utilizando esses pontos?

cálculo de arranjo ex. 15

Para resolver este problema, basta observarmos que a seqüência com que escolhemos três pontos quaisquer não importa. Ou seja, escolhidos três pontos, independente da ordem que fizemos a escolha, obteremos o mesmo triângulo. Logo, teremos C8,3 = 56 triângulos possíveis.

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Exemplo 26

 

Sobre uma reta r, marcam-se 5 pontos e sobre uma outra reta s, paralela à primeira, marcam-se 3 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?

 

É uma variação mais elaborada do exemplo anterior. Podemos utilizar dois métodos distintos para a resolução, que chamaremos aqui de método da inclusão e de método da exclusão.

 

Método da Inclusão

 

Neste método, iremos considerar apenas os casos de interesse e, ao final, somamos os resultados para obter o total de triângulos.

 

construção de triângulos pelo método da inclusão

Note que temos duas possibilidades para a construção dos triângulos: os que possuem a base na reta r e um vértice na reta s (triângulo da esquerda)ou os que possuem a base na reta s e um vértice na reta r (triângulo da direita).

 

I. para os triângulos de mesmo tipo que o da esquerda, escolhemos 2 dos 5 vértices para a base e um dos 3 que correspondem ao vértice da reta s: C5,2 . C3,1 = 10 . 3 = 30.

 

II. para os triângulos de mesmo tipo que o da esquerda, escolhemos 2 dos 3 vértices para a base e um dos 5 que correspondem ao vértice da reta r: C3,2 . C5,1 = 3 . 5 = 15.

 

Como pode ocorrer o caso I ou o caso II teremos um total de 30 + 15 = 45 triângulos.

 

Método da Exclusão

 

Inicialmente, consideramos o número total de triângulos que podemos construir a partir de 5+3=8 pontos: C8,3 = 56 triângulos. Porém, pelo fato de termos pontos colineares, devemos calcular quantos “falsos triângulos” computamos, ou seja, quantos “triângulos” formamos utilizando 3 pontos colineares:

construção de triângulos pelo método da exclusão

I. na reta r temos C5,3 = 10 “falsos triângulos”.

II. na reta s temos C3,3 = 1 “falso triângulo”.

 

Logo, temos um total de 10+1=11 “falsos triângulos”. Assim, os possíveis triângulos que podemos construir serão 56 – 11 = 45.

 

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Exemplo 27

 

Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra INFINITO?

 

Ao todo são 8 letras, sendo 3 letras “I” e 2 letras “N”. Utilizando a fórmula de permutação com repetição, teremos

 

cálculo do número de anagramas
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Exemplo 28

 

Determine o número de soluções naturais da equação x+y+z=9.

 

Como estamos trabalhando com o conjunto dos números naturais, cada uma das incógnitas x, y e z podem assumir valores de 0 à 9. Vamos supor que cada bolinha represente uma unidade e que cada barrinha separe os valores de x, y e z da seguinte forma: a quantidade de bolinhas à esquerda da primeira barra corresponde ao valor de x; entre as duas barras correspondem ao valor de y; à direita da segunda barra correspondem ao valor de z. Exemplos:

 

soluções de uma equação

Dessa forma, vamos traduzir o esquema como se fosse uma palavra com letras repetidas, em que B representa “bolinha” e T representa o “traço”. As figuras anteriores seria, respectivamente, as “palavras” BBTBBBTBBBB, TBBTBBBBBB e BBBBBBBBBTT. Em resumo, o total de soluções corresponde ao número de anagramas de uma das “palavras” anteriores:

soluções de uma equação
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Exemplo 29

 

Em um acampamento há 12 pessoas e 3 barracas. De quantas maneiras podemos organizar essas pessoas de modo que fiquem exatamente 4 pessoas em cada barraca?

 

Inicialmente, calculamos quantos grupos distintos podemos formar na 1ª barraca: C12,4=495. Para a segunda barraca, devemos escolher 4 pessoas dentre as 8 restantes, visto que 4 pessoas já ocupam a primeira barraca: C8,4=70. Para a última barraca, só resta escolhermos 4 dentre as 4 pessoas que sobraram, o que nos dá, claramente, C4,4=1 grupo possível. Como queremos colocar 4 pessonas na primeira, e na segunda, e na terceira barraca, temos, pelo PFC um total de 495 . 70 . 1 = 34650 formas de organizar o grupo nas barracas.

 

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Exemplo 30

 

De quantas maneiras podemos arrumar lado a lado 5 livros de Geometria, 4 de Estatística e 3 de Cálculo em uma prateleira de modo que livros de um mesmo assunto fiquem sempre juntos?

 

Inicialmente, vamos supor uma seqüência qualquer das matérias. Por exemplo, Geometria, Estatística e Cálculo. Calculamos de quantas formas podemos organizar os livros de cada matéria separadamente.

 

soluções de uma equação

Agora, consideramos a ordem com que as disciplinas aparecerão na estante, ou seja, chamando G para geometria, E para Estatística e C para Cálculo temos que a disposição GEC é diferente de CGE, por exemplo. O total de arrumações possíveis é P3 = 3! = 6 para as disciplinas.

 

Pelo princípio multiplicativo, teremos 120 . 24 . 6 . 6 = 103680 formas de dispor esses livros na prateleira.

 

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