Distribuição Geométrica

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Distribuição Geométrica de Probabilidades

Distribuição Geométrica

 

Muitas situações reais podem ser repetidas até atingir–se o sucesso. Um candidato pode prestar uma prova de vestibular até ser aprovado, ou você pode digitar um número de telefone várias vezes até conseguir completar a ligação. Situações como essas podem ser representadas por uma distribuição Geométrica.

 

Uma distribuição pode ser considerada Geométrica se satisfizer as seguintes condições:

1) Uma tentativa (correspondente a um Ensaio de Bernoulli) é repetida até que o sucesso ocorra, ou seja, ocorrem k–1 fracassos até que ocorra o primeiro sucesso na k–ésima tentativa.

2) As tentativas são independentes umas das outras.

3) A probabilidade de sucesso p é constante em todos os Ensaios de Bernoulli.

 

Logo, a probabilidade de que ocorra sucesso na tentativa k é:

 

P(X=k) = p.(1–p)k–1

 

com k=1,2,3,4...

 

Ou seja, ocorrem k–1 fracassos com probabilidade 1–p até que ocorra um sucesso na tentativa k com probabilidade p.

 

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Exemplo 1

 

Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser defeituosa, determine a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa na 1ª peça produzida, na 2ª, na 5ª, na 10ª, na 20ª e na 40ª.

 

Resolução

 

Vamos admitir que cada peça tem a mesma probabilidade de ser defeituosa, independentemente da qualidade das demais. Sendo a ocorrência de peça defeituosa um sucesso, podemos aplicar o modelo Geométrico. Definindo a variável aleatória com distribuição geométrica X: número total de peças observadas até que ocorra a primeira defeituosa, podemos escrever nosso modelo:

 

P(X=k) = 0,01 . 0,99k–1

 

Assim, podemos aplicar nosso modelo para calcular as probabilidades pedidas:

 

P(X=1) = 0,01 . 0,990 = 0,01

P(X=2) = 0,01 . 0,991 = 0,0099

P(X=5) = 0,01 . 0,994 = 0,0096

P(X=10) = 0,01 . 0,999 = 0,0091

P(X=20) = 0,01 . 0,9919 = 0,0083

P(X=40) = 0,01 . 0,9939 = 0,0068

 

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Exemplo 2

 

Por experiência, você sabe que a probabilidade de que você fará uma venda em qualquer telefone dado é 0,23. Encontre a probabilidade de que sua primeira venda ocorra na quarta ou na quinta ligação.

 

Resolução

 

X: número da primeira ligação em que ocorre a venda (sucesso).

 

P(X=4) = 0,23 . 0,773 = 0,105003

P(X=5) = 0,23 . 0,774 = 0,080852

 

Logo, a probabilidade desejada é:

 

P(venda na 4ª ou 5ª ligação) = P(X=4) + P(X=5) = 0,105003 + 0,080852 = 0,186.

 

Embora um sucesso possa, teoricamente, nunca ocorrer, a distribuição geométrica é uma distribuição de probabilidade discreta porque os valores de x podem ser listados – 1,2,3.... Perceba que conforme x se torna maior, P(X=x) se aproxima de zero. Por exemplo:

 

P(X=50) = 0,23 . 0,7749 = 0,0000006306.

 

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Esperança ou média ou valor esperado da Geométrica

 

Seja X uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p (probabilidade de sucesso). A média ou esperança de X é dada por:

fórmula da esperança da geométrica

Variância da Geométrica

 

Nas mesmas condições que as apresentadas para a média, temos que a variância é dada por

 

fórmula da variância da geométrica

Observação: o desvio padrão da distribuição Geométrica é calculado como sendo a raiz quadrada da variância, assim como já estudamos anteriormente.

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Exemplo 3

 

Em uma indústria há uma máquina que é inspecionada todos os dias antes de os trabalhos serem iniciados. Por experiências anteriores, sabe-se que a probabilidade dessa máquina estar funcionando corretamente é de 90%. Caso haja algum problema, a produção não é iniciada e a máquina deve passar por uma revisão geral.

 

a) Qual é a probabilidade de que essa máquina funcione normalmente durante 15 dias e tenha que passar por uma revisão no 16º dia?

b) Qual a probabilidade de levarem pelo menos 5 dias até que aconteça a revisão geral?

c) Em média, a cada quantos dias ocorrerá uma revisão geral?

 

Resolução

 

Aqui temos uma distribuição geométrica. Como nosso interesse é de analisar o dia em que ocorrerá a primeira revisão, devemos definir como sendo sucesso o fato de ocorrer essa revisão geral. Sendo assim:

 

X: número de dias até que ocorra a primeira revisão.

 

E, portanto, temos que p = 0,10.

 

a) P(X = 16) = 0,10 . (1 – 0,10)16-1 = 0,10 . 0,9015 = 0,0206 ou 2,06%

 

b) P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) =

= 1 – [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)] =

= 1 – [0,10 . 0,900 + 0,10 . 0,901 + 0,10 . 0,902 + 0,10 . 0,903 + 0,10 . 0,904] =

= 1 – 0,40951 =

= 0,59049 ou 59,049%

 

c) E(X) = 1/0,1 = 10

Logo, esperamos que as revisões ocorram, em média, a cada 10 dias.

 

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Exemplo 4

 

O custo de realização de um experimento é de R$ 1.000,00. Se o experimento falha, um custo adicional de R$ 300,00 tem de ser imposto. Se a probabilidade de sucesso em cada prova é 0,2, se as provas são independentes e continuadas até a ocorrência do primeiro sucesso, qual o custo esperado do experimento?

 

Resolução

 

Vamos definir a variável aleatória X como sendo o número de experimentos até ocorrer o primeiro sucesso. Neste caso, p = 0,2. O número esperado de experimentos até a ocorrência do primeiro sucesso é dada por:

 

E(X) = 1/0,2 = 5 experimentos.

 

Isso significa que esperamos que ocorram 5 experimentos até que aconteça o primeiro sucesso. Ou seja, nos 4 primeiros ocorrem fracasso e no 5º ocorre sucesso.

 

O custo para realizar o experimento é de R$ 1000. Ou seja, como serão realizados 5 experimentos, teremos um custo de realização igual a R$ 5000. Porém, nos 4 primeiros experimentos ocorrerá falha, o que implica em um custo adicional de R$ 300 para cada experimento. Logo, teremos um custo adicional total de 4 . 300 = R$ 1200. Dessa forma, o custo total esperado será de 5000 + 1200 = R$ 6.200,00.

 

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Lista de Exercícios - Distribuição Geométrica

 

Exercício 1

 

Considere uma variável aleatória X com distribuição Geométrica com parâmetro p=0,4. Calcule:

a) P(X = 4).

b) P(3 ≤ X < 5).

c) P(X ≥ 2).

 

Exercício 2

 

Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos anteriores à ocorrência de cara. Determine:

a) P(X ≤ 2).

b) P(X > 1).

c) P(3 < X ≤ 5).

Exercício 3

 

Suponha que a probabilidade de que você faça uma venda durante qualquer um dos telefonemas feitos é 0,19. Encontre a probabilidade de que você:

a) faça sua primeira venda durante a quinta ligação;

b) faça sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação;

c) não faça uma venda durante as três primeiras ligações.

Exercício 4

 

Um produtor de vidro descobre que 1 em cada 500 itens de vidro está torcido. Encontre a probabilidade de:

a) o primeiro item de vidro torcido ser o décimo item produzido;

b) o primeiro item de vidro torcido ser o segundo ou terceiro item produzido;

c) nenhum dos dez primeiros itens de vidro estar imperfeito.

Exercício 5

 

A duração, em centenas de horas, de uma lâmpada segue o modelo geométrico com parâmetro p = 0,7. Determine:

a) a probabilidade de uma lâmpada durar menos de 500 horas;

b) a probabilidade de uma lâmpada durar mais de 200 horas e menos de 400 horas;

c) a duração média de uma lâmpada.

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