Distribuição Uniforme

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Distribuição Uniforme

Modelos Contínuos de Distribuições de Probabilidades

 

Como já vimos, uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Quando a variável é contínua, ou seja, assume valores em intervalos da reta dos números reais, a distribuição de freqüência de uma amostra de observações pode ser representada através de um histograma.

 

Agora, porém, queremos analisar a população de onde foi retirada essa amostra. Como não temos acesso ao histograma de freqüências relativo à população, não conseguimos determinar, diretamente, o cálculo de qualquer probabilidade. Para o cálculo exato, necessitamos de um modelo para a distribuição de freqüências da população. Estudaremos, aqui, três dos principais modelos contínuos: Uniforme, Normal e Exponencial.

 

Os modelos que serão analisados representam comportamentos de uma extensa série de variáveis do mundo dos negócios e também distribuições teóricas de probabilidades que são fundamentais para os métodos de inferência estatística. Tais modelos são expressos por funções matemáticas denominadas funções densidade de probabilidade.

 

A área sob a curva que expressa a função densidade de probabilidade é igual a 1 (total das probabilidades), sendo que a probabilidade de uma particular observação pertencer a um intervalo é dado pela área sob a curva, correspondente ao intervalo, conforme podemos observar na figura seguinte:

 

função densidade de probabilidade
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Distribuição Uniforme

 

A Distribuição Uniforme Contínua é uma das distribuições contínuas mais simples de toda a Estatística. Ela se caracteriza por ter uma função densidade contínua em um intervalo fechado [a,b]. Ou seja, a probabilidade de ocorrência de um certo valor é sempre o mesmo. Embora as aplicações desta distribuição não sejam tão abundantes quanto as demais distribuições que discutiremos mais adiante, utilizaremos a Distribuição Uniforme para introduzirmos as funções contínuas e darmos uma noção de como se utiliza a função densidade para determinarmos probabilidades, esperanças e variâncias.

 

Função densidade de probabilidade

 

A variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a,b] se sua densidade de probabilidade for dada por:

 

função densidade da distribuição uniforme

Usaremos a notação X ~ U[a,b] para indicar que X segue o modelo Uniforme Contínuo no intervalo considerado.

 

Graficamente:

 

gráfico da função densidade da distribuição uniforme

Note que a área compreendida entre a função densidade e o eixo é:

área - gráfico da densidade da uniforme

Ou seja, de modo simples, podemos dizer que ÁREA = PROBABILIDADE.

Esperança ou média ou valor esperado da Uniforme

 

Já vimos que a esperança para variáveis discretas é calculada através da fórmula

fórmula da esperança para variáveis discretas

Quando trabalhamos com variáveis contínuas, utilizamos a função densidade. Além disso, não podemos trabalhar com o “somatório” visto que se trata de uma função contínua, ou seja, se trata do cálculo de uma área. Logo, utilizaremos integral.

 

Vamos deduzir a fórmula da esperança da distribuição Uniforme contínua:

 

dedução da fórmula da esperança da uniforme

Logo:

fórmula da esperança da uniforme

Variância da Distribuição Uniforme

 

Assim como já vimos, a variância de uma variável aleatória é obtida através da expressão:

 

fórmula da variância de uma variável aleatória

Já calculamos o valor de E(X). Vamos calcular, agora, E(X2):

dedução da fórmula de E(X2) da Uniforme

Agora, podemos obter a variância:

dedução da fórmula da variância da Uniforme

Logo:

fórmula da variância da Uniforme

Exemplo

 

Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distância a uma das extremidades (fixada à priori) é anotada para fins de análise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Denote por X a variável aleatória que indica a distância correspondente ao vazamento. Assuma que X tem uma distribuição Uniforme Contínua.

 

a) Determine a função densidade de probabilidade.

b) Construa o gráfico da função densidade.

c) Utilizando apenas a função, determine a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades.

d) Utilizando apenas o gráfico construído no item b, determine a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades.

 

Resolução

 

a) Temos, a partir do enunciado, que X ~ U[0,6]. Logo:

exemplo resolvido - densidade da uniforme

b) O gráfico da função densidade apresentada no item anterior fica:

exemplo resolvido - gráfico da densidade da uniforme

c) Utilizando a função densidade:

exemplo resolvido - gráfico da densidade da uniforme

Portanto, a probabilidade desejada vale 1/3.

 

d) usando apenas o gráfico construído, basta lembrarmos que probabilidade é equivalente a área sob o gráfico da função densidade:

exemplo resolvido - gráfico da densidade da uniforme

A área hachurada é igual a probabilidade procurada:

exemplo resolvido - gráfico da densidade da uniforme

que é igual ao resultado obtido no cálculo do item c.

Lista de Exercícios - Distribuição Uniforme

 

Exercício 1

 

Sendo X ~ U[0,4], calcule:

 

a) P(X > 2).

b) P(X ≥ 2).

c) P(1 < X < 2).

 

Exercício 2

 

Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10 km.

 

a) Qual é a probabilidade de a pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos 3 km centrais da rede?

b) O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local da pane. Considere que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo é de R$ 200 para distâncias até 3 km, de R$ 400 entre 3 e 8 km e de R$ 1000 para as distâncias acima de 8 km. Qual é o custo médio do conserto?

 

Exercício 3

 

O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado, qual a probabilidade da dor:

 

a) cessar em até 10 minutos?

b) demorar pelo menos 12 minutos até cessar?

 

Exercício 4

 

Suponha que o valor esperado de uma variável aleatória com distribuição Uniforme contínua é 1 e a variância é igual a 1/12. Encontre a probabilidade da variável assumir valores menores que 3/4.

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