Intervalos de Confiança

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Intervalos de Confiança

Introdução

 

Neste capítulo, começaremos a estudar efetivamente a Inferência Estatística. Até agora, estudamos alguns estimadores pontuais. O problema de uma estimativa pontual é que ela raramente se iguala ao parâmetro exato (média, desvio padrão ou proporção) de uma população. Daí surge a necessidade de fazer estimativas mais significativas, especificando um intervalo de valores em uma linha de número juntamente com a afirmação de quão confiante você está de que seu intervalo contém o parâmetro populacional.

 

Estimativa por intervalo, o nível de confiança e de significância

 

Uma estimativa por intervalo para um parâmetro populacional é um intervalo determinado por dois números, obtidos a partir de elementos amostrais, que se espera que contenham o valor do parâmetro (populacional) com um dado nível de confiança (lê–se: “gama”).

 

Geralmente, trabalhamos com 90% ≤ ≤ 99%. Valores menores que 90% para o nível de confiança não são utilizados, pois possuem pouca “precisão”, ou seja, a confiabilidade é muito “pequena”. Valores acima de 99%, embora consistam em uma confiança elevada, acarretam problemas de cálculo: ou obtemos intervalos muito grandes ou necessitamos de amostras muito grandes, o que pode inviabilizar a pesquisa, a coleta de dados, elevando o seu custo.

 

Em algumas situações, pode ser dado, ao invés do nível de confiança, o nível de significância . A relação entre eles é que

gama
gama
gama
relação entre gama e alfa

É importante atentar para o risco do erro, quando se constrói um intervalo de confiança. Se o nível de confiança é de 95%, o risco do erro da inferência estatística será de 5%. Assim: se construíssemos 100 intervalos, baseados em 100 amostras de tamanhos iguais, poderíamos esperar que 95 desses intervalos (95% deles) iriam conter o parâmetro populacional sob estudo, enquanto cinco intervalos (5% deles) não iriam conter o parâmetro.

 

Para exemplificar, vamos supor um parâmetro populacional. Vamos admitir a seleção de 10 amostras de mesmo tamanho e um nível de confiança de 90%. A figura seguinte mostra os intervalos obtidos.

 

Os segmentos horizontais representam os 10 intervalos, e a reta vertical representa a localização do parâmetro . Nota-se que o parâmetro é fixo e que a localização do intervalo varia de amostra para amostra. Por conseguinte, podemos falar em termos da "probabilidade de o intervalo incluir ", e não em termos da "probabilidade de pertencer ao intervalo", já que é fixo. O intervalo é aleatório. Na prática, somente um intervalo é construído por meio da amostra aleatória obtida. Como utilizamos uma confiança igual a 90%, perceba que apenas 9 dos 10 intervalos construídos contém o verdadeiro parâmetro :

 

teta
teta
teta
teta
teta
significado de nível de confiança

Dessa forma, podemos fazer uma interpretação genérica de um intervalo de confiança: se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho e para cada uma calcularmos os correspondentes intervalos de confiança com coeficiente (ou nível) de confiança , esperamos que a proporção de intervalos que contenham o valor do parâmetro seja igual a .

teta
gama
gama

Intervalo de Confiança para a Média Populacional quando a Variância é Conhecida

 

Neste primeiro tópico, mostraremos a lógica para se obter um intervalo de confiança. Nos casos seguintes, a técnica é a mesma e, por isso, seremos mais breves nas explicações teóricas.

 

Como vimos anteriormente, a distribuição de probabilidade da média amostral é

 

 

para populações infinitas e

 

 

para populações finitas.

 

 

Assim, para populações infinitas, a variável normal padrão de será denominada Zobservado:

 

distribuição das médias
distribuição das médias
x barra
z observado

Para populações finitas, deve–se acrescentar o fator de correção populacional ao cálculo de Zobservado:

z observado
z observado

Fixado um nível de confiança , devemos utilizar a tabela da Normal Padrão para determinar os valores críticos da variável Z, ou seja, zcrítico, conforme mostra a figura:

gama
z crítico na tabela da normal

O intervalo de confiança para a média populacional é tal que:

Intervalo de confiança para a média

De forma mais simples, podemos escrever que o intervalo de confiança para a média populacional, quando a variância for conhecida é:

Intervalo de confiança para a média

onde o termo é chamado de erro (ou erro máximo da estimativa ou tolerância de erro).

 

 

Caso se utilize o fator de correção, temos:

 

erro - intervalo de confiança
Intervalo de confiança para a média

onde o termo é chamado de erro (ou erro máximo da estimativa ou tolerância de erro).

erro - intervalo de confiança

Exemplo 1

 

A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que =5 horas. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo–se média de 500 horas. Desejamos construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança.

 

Resolução

 

Inicialmente, vamos obter o valor crítico da distribuição utilizando a tabela da Normal Padrão: queremos encontrar os valores zc e –zc de modo que a probabilidade dos valores compreendidos entre zc e –zc seja igual a 95%, ou seja, ao nível de confiança. Como a curva é simétrica, temos que a área compreendida entre 0 e zc vale 95% / 2 = 47,5%. Logo, devemos buscar o valor que mais se aproxima de 0,475 na tabela:

 

variância amostral

Assim, percebemos que, coincidentemente, há o valor 0,475 exato, correspondendo a um valor crítico zc=1,96. Agora, basta aplicarmos a fórmula:

resolução exemplo 1

Portanto, os limites do nosso intervalo serão:

 

500 + 0,98 = 500,98 e

500 – 0,98 = 499,02.

 

Ou seja,

 

resolução exemplo 1

Ou, ainda, de maneira mais simples:

 

IC = [499,02 ; 500,98].

 

Interpretação: o intervalo [499,02 ; 500,98] contém a verdadeira duração média da peça com 95% de confiança. Isso significa que, se forem construídos intervalos dessa mesma maneira, 95% desses intervalos devem conter a verdadeira média (populacional).

Exemplo 2

 

Vamos considerar o exemplo anterior, mas, agora, suponha que tenhamos uma população de 1000 peças.

 

Resolução

 

Nesse caso, o intervalo para a média será:

 

resolução exemplo 2

Logo, o intervalo procurado é: IC = [499,07 ; 500,93].

Exemplo 3

 

Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma certa raça siga o modelo Normal com média desconhecida e variância igual a 0,01 m2. Uma amostra de dez animais foi sorteada e forneceu média 1,69 m. Obtenha uma estimativa para o parâmetro com uma confiança de 98%.

 

Resolução

 

Inicialmente, devemos observar que foi dado que =0,01 m2. Logo, =0,1 m.

 

Utilizando a tabela da normal para encontrar zc temos:

 

gráfico exemplo 3
tabela da normal exemplo 3

Ou seja, zc = 2,33.

 

Aplicando a fórmula, temos:

 

resolução exemplo 3

Calculando os limites inferior e superior do IC, obtemos:

 

1,69 – 0,07 = 1,62 e 1,69 + 0,07 = 1,76.

 

Assim: IC = [1,62 ; 1,76].

 

Alternativamente, poderíamos escrever:

 

resolução exemplo 3

Exemplo 4

 

Deseja–se estimar o número médio de frases em anúncios de revistas. De estudos anteriores, sabe–se que a distribuição é Normal com desvio padrão igual a 5 frases. Quantos anúncios de revista devem ser incluídos na amostra se você quer ter 95% de confiança e não errar mais do que 1 frase da média populacional?

 

Resolução

 

Vimos que o erro é dado por

variância amostral das médias

Para uma confiança de 95%, já vimos que, a partir da tabela da Normal, zc=1,96. Substituindo os valores temos:

desvio padrão amostral das médias

Quando necessário, o resultado deve ser arredondado para o primeiro valor inteiro maior que o valor de n calculado.

 

Neste caso, n=97, ou seja, devemos incluir pelo menos 97 anúncios de revista na amostra.

 

Intervalo de Confiança para a Média Populacional quando a Variância é Desconhecida

 

Quando temos pequenas amostras e não conhecemos o valor do desvio padrão populacional, construímos intervalos de confiança para a média populacional utilizando a distribuição t de Student para encontrar os valores críticos (tc) com (n–1) graus de liberdade.

 

 

Populações infinitas:

 

 

 

Populações finitas:

 

 

 

Note que, agora, trabalhamos com o desvio padrão amostral s, visto que o populacional é desconhecido.

 

fórmula intervalo de confiança para média com variância desconhecida
fórmula intervalo de confiança para média com variância desconhecida

A distribuição t de Student

 

Possui as seguintes características:

 

1) A distribuição t tem a forma de sino e é simétrica em relação à média.

2) A distribuição t é uma família de curvas, cada uma determinada por um parâmetro chamado de grau de liberdade. Os graus de liberdade são o número de escolhas livres deixadas depois que uma amostra estatística tal como é calculada. Quando usamos a distribuição t para estimar a média da população, os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um: g.l. = n – 1.

3) A área total sob a curva é 1 ou 100%.

4) A média, moda e mediana da distribuição t são iguais a zero.

5) Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição t se aproxima da distribuição Normal. Para mais de 30 graus de liberdade, a distribuição t está tão próxima da Normal, que podemos trabalhar diretamente com a tabela da Normal Padrão.

 

gráficos t-student x normal

Nota histórica

 

William S. Gosset desenvolveu a distribuição t enquanto trabalhava na indústria de cervejas Guinness, em Dublin, na Irlanda. Gosset publicou suas descobertas usando o pseudônimo de Student. A distribuição t às vezes é chamada de distribuição t de Student.

 

William S. Gosset

A tabela da distribuição t de Student

 

Na tabela, além dos graus de liberdade, você deverá procurar a coluna correspondente a p, conforme ilustra a figura seguinte:

 

como ler a tabela t student

A soma das duas caudas da curva é igual ao valor de p.

 

Ou seja, o nível de significância corresponde ao valor 1 – p.

 

gama
tabela t-student

Exemplo 5

 

A amostra 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população Normal. Construa um intervalo de confiança para a média ao nível de 95%.

 

Resolução

 

Inicialmente, utilizando as fórmulas da Estatística Descritiva, devemos calcular a média e o desvio padrão dessa amostra.

 

resolução exemplo 5
resolução exemplo 5

Os graus de liberdade da distribuição são: g.l.= n–1 = 10–1 = 9.

 

Para usarmos a tabela, devemos observar a coluna correspondente a p=5% (pois 100% – 95% = 5%):

 

valor tabela t-student exemplo 5

Logo, o valor crítico procurado é tc=2,262. Substituindo na fórmula temos:

resolução exemplo 5

Assim, calculando o limite inferior e superior do intervalo, obtemos:

 

IC = [7,27 ; 10,13], que é o intervalo que contém a verdadeira média (populacional) com 95% de confiança.

 

Exemplo 6

 

Você seleciona aleatoriamente 20 instituições que realizam financiamento para compra da casa própria e determina o atual índice de juros do financiamento em cada uma delas. A média da amostra dos juros é de 6,22%, com desvio padrão de 0,42%. Encontre o intervalo de confiança de 99% para a média populacional do índice de juros do financiamento. Assuma que os índices de juros são aproximadamente normalmente distribuídos.

 

Resolução

 

Inicialmente, podemos verificar, a partir do enunciado, que =6,22 e s=0,42. Sendo n=20 temos g.l.=20–1=19.

 

Observando a tabela t para g.l.=19 e p=1%, encontramos tc=2,861. Aplicando a fórmula:

 

resolução exemplo 6

Logo: IC = [5,95 ; 6,49].

 

Interpretação: com 99% de confiança, podemos dizer que a média populacional do índice de juros do financiamento está entre 5,95% e 6,49%.

Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional

 

Agora, queremos construir um intervalo de confiança para a proporção populacional p. Lembrando que a estimativa pontual de p é dada pela proporção de sucessos em uma amostra e é denotada por

intervalo de confiança para proporção

E, ainda,

intervalo de confiança para proporção

que é a proporção amostral de fracassos.

 

Antes de construir um intervalo para a proporção, devemos verificar se a distribuição de amostragem pode ser aproximada pela distribuição Normal. Isso ocorrerá se forem satisfeitas as condições:

 

I. e

 

II.

 

Se essas duas condições ocorrerem, podemos construir o intervalo de confiança para a proporção, que utilizará, para a determinação do valor crítico, a tabela da Normal:

 

 

Populações infinitas:

 

 

 

Populações finitas:

 

 

 

Lembre–se: uma população é considerada finita quando .

 

 

Importante: quando não possuímos uma estimativa prévia do valor de , utilizamos uma abordagem conservativa para o cálculo do intervalo de confiança, baseada no fato de que a expressão p(1–p) possui valor máximo igual a ¼ quando p está no intervalo [0;1] . Você pode verificar isso construindo o gráfico da função p(1–p) e achando o seu valor máximo no intervalo [0;1]. Neste caso, a margem de erro é:

intervalo de confiança para proporção
intervalo de confiança para proporção
intervalo de confiança para proporção
intervalo de confiança para proporção
intervalo de confiança para proporção
intervalo de confiança para proporção - erro - abordagem conservativa

Exemplo 7

 

Pretende–se estimar a proporção de cura, através do uso de um certo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento em 200 pacientes, escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção da população em geral para um nível de confiança de 95%?

 

Resolução

 

Inicialmente, vamos calcular a proporção amostral:

 

resolução - exemplo 7

Utilizando a tabela da Normal, obtemos o valor crítico para 95% de confiança: zc=1,96.

 

Aplicando a fórmula:

resolução - exemplo 7

Logo, o intervalo de confiança é: IC = [0,745 ; 0,855].

Exemplo 8

 

O gráfico a seguir foi feito com base em uma pesquisa entre 900 norte–americanos adultos. Construa um intervalo de 99% de confiança para a população de adultos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos.

resolução - exemplo 8

Resolução

 

A partir do gráfico temos que . Na tabela da Normal, devemos buscar uma probabilidade compreendida entre 0 e zc igual a 0,495. Perceba que esse valor não existe na tabela, porém, ele é o ponto médio dos valores 0,4949 correspondendo a zc=2,57 e 0,4951 correspondendo a zc=2,58. Pelo fato de essa probabilidade ser o ponto médio das probabilidades encontradas, trabalharemos, para uma melhor aproximação, com o ponto médio dos valores críticos d tabela, ou seja:

resolução - exemplo 8

Então:

resolução - exemplo 8

O intervalo de confiança é: IC=[0,589 ; 0,671].

 

Interpretação: com 99% de confiança, a proporção de adultos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos está entre 58,9% e 67,1%.

 

Exemplo 9

 

Você está analisando uma campanha política e quer estimar, com 95% de confiança, a proporção dos eleitores que irão votar em um determinado candidato. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da população real. Encontre o número mínimo da amostra necessária se:

 

a) não há nenhuma estimativa prévia;

b) há uma estimativa prévia de ;

c) compare os resultados obtidos.

 

Resolução

 

a) Não havendo nenhuma estimativa de , trabalharemos com a abordagem mais conservadora:

resolução - exemplo 9
resolução exemplo 9

Logo, temos que o tamanho mínimo da amostra é de 1068 eleitores.

 

b) Como temos a estimativa , fazemos:

 

resolução exemplo 9
resolução exemplo 9

Portanto, o tamanho mínimo da amostra, neste caso, é de 914 eleitores.

 

c) Sem nenhuma estimativa prévia, o tamanho mínimo da amostra é de 1068 eleitores. Havendo a estimativa prévia, o tamanho da amostra necessária passa a ser de 914 eleitores. Isso ocorre por que na falta de uma estimativa prévia, maximizamos o valor de p(1–p), fazendo com que o tamanho da amostra aumente.

 

Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão

 

Para construirmos intervalos para a variância e desvio padrão, devemos lembrar que a estimativa pontual para é s2 e que a estimativa pontual para é s. Além disso, devemos trabalhar com uma outra distribuição que não a Normal nem a t-Student: usamos a qui-quadrado.

 

 

 

A distribuição qui-quadrado

 

A distribuição qui-quadrado (representa-se por ) é uma família de curvas, cada uma determinada pelos graus de liberdade. Para formar um intervalo de confiança para , usa-se a distribuição com graus de liberdade iguais a um a menos do que o tamanho da amostra, ou seja, g.l. = n – 1 .

 

Além disso, a área abaixo da curva da distribuição qui-quadrado é igual a 1 e as distribuições qui-quadrado são assimétricas positivas. A distribuição qui-quadrado é utilizada quando estamos analisando a variância de uma amostra quando essa amostra é proveniente de uma população normalmente distribuída.

 

gráficos qui-quadrado
limite superior qui quadrado

A tabela da distribuição qui-quadrado

 

Para a construção de intervalos de confiança para a variância e o desvio padrão, devemos obter dois valores na tabela da qui-quadrado, que chamaremos de e . Note que a tabela nos fornece a área à direita do valor observado.

 

limite inferior qui quadrado
tabela qui-quadrado
limite superior qui quadrado
limite inferior qui quadrado
limite superior qui quadrado
limite inferior qui quadrado
limite superior qui quadrado

Exemplo 10

 

Vamos encontrar os valores críticos e para um intervalo de confiança de 90%, quando o tamanho da amostra for igual a 20.

 

Resolução

 

Os graus de liberdade são: g.l. = n – 1 = 20 – 1 = 19.

 

Para um intervalo de 90%, teremos uma área de 5% à esquerda de e de 5% à direita de . Mas, para utilizarmos a tabela, devemos pensar em valores à direita e, portanto, temos de 95% à direita de

e 5% à direita de , conforme ilustra a figura:

 

limite inferior qui quadrado
tabela qui-quadrado - exemplo 10
tabela qui-quadrado - exemplo 10
limite inferior qui quadrado

Assim, os valores procurados são: =10,117 e =30,144.

Intervalo de confiança para a Variância

fórmula de intervalo de confiança para a variância

Intervalo de confiança para o Desvio Padrão

fórmula de intervalo de confiança para o desvio padrão
limite inferior qui quadrado
limite superior qui quadrado
limite superior qui quadrado

Exemplo 11

 

Um farmacêutico seleciona aleatoriamente 30 amostras de um antialérgico e as pesa. O desvio padrão da amostra é 1,20 miligramas. Supondo que os pesos são normalmente distribuídos, construa um intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão da população.

 

Resolução

 

Devemos considerar uma área à direita de igual a 0,995 e uma área à direita d e igual a 0,005. Para g.l. = n – 1 = 30 – 1 = 29, os valores críticos obtidos na tabela são: = 13,121 e = 52,336.

 

O intervalo para a variância é:

 

limite inferior qui quadrado
resolução exemplo 11

O intervalo para o desvio padrão é:

resolução exemplo 11

Assim, podemos dizer com 99% de confiança que a variância populacional está entre 0,80 e 3,18 miligramas2, enquanto que o desvio padrão fica entre 0,89 e 1,78 miligramas.

Exercícios

 

Exercício 1

 

Em um teste com um tipo de fusível, 9 peças foram analisadas. O tempo médio até queimar dessa amostra foi 19,2 minutos, com desvio-padrão populacional conhecido 2,4 minutos. Sabe-se que a população é Normal ou Gaussiana. Calcule o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média da população.

 

Exercício 2

 

Os pulsos em repouso de 920 pessoas sadias foram tomados, e uma média de 72,9 batidas por minuto (bpm) e uma variância de 121,0 bpm2 foram obtidos. Construa um intervalo de confiança de 96% para a pulsação média em repouso de pessoas sadias com base nesses dados.

Exercício 3

 

Os QIs de 181 meninos com idades entre 6-7 anos de Curitiba foram medidos. O QI médio foi 108,08, e o desvio padrão foi 14,38.

a) Calcule um intervalo de confiança de 95% para o QI médio populacional dos meninos entre 6-7 anos de idade em Curitiba usando estes dados.

b) Interprete o intervalo de confiança com palavras.

 

Exercício 4

 

Seleciona-se uma amostra de 200 pixels da região A de uma imagem, chegando-se a uma média e variância amostrais de 187,3 e 53,1 respectivamente. Construa o intervalo de confiança de 97% para a média populacional.

Exercício 5

 

O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo do tipo de veículo. Suponha que para um certo automóvel A, o desvio padrão do consumo seja 2 km/l, enquanto que para um automóvel B, o desvio padrão é de 3 km/l. A partir de uma amostra de 40 veículos do tipo A e 36 veículos do tipo B, verificamos que o consumo médio de cada veículo foi de 9,3 km/l para o tipo A e de 11,2 km/l para o B. Ao nível de 95% pode-se afirmar que o veículo B é mais econômico?

Exercício 6

 

Num grupo de pacientes, o nível de colesterol é uma variável aleatória com distribuição Normal com variância 64 (mg/ml)2. Para uma amostra de 46 indivíduos que forneceu nível médio de colesterol de 120 mg/ml, construa o intervalo de confiança de 88%.

Exercício 7

 

Da experiência passada, sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças da 5ª série é 5 cm. Colhendo uma amostra de 36 dessas crianças, observou-se a média de 150cm. Qual o intervalo de confiança de 95% para a média populacional? Interprete.

Exercício 8

 

Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão de 2 unidades. Utilizando os valores 4,9 ; 7,0 ; 8,1 ; 4,5 ; 5,6 ; 6,8 ; 7,2 ; 5,7 ; 6,2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confiança para a resistência média com uma confiança de 90%.

Exercício 9

 

Em uma empresa de vendas, as comissões de uma amostra de 130 vendedores são apresentadas na tabela a seguir:

Construa um intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro salário médio dos vendedores dessa empresa.

Exercício 10

 

Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando–se para uma determinada medida uma média de 5,2 mm. Sabendo que as medidas tem distribuição Normal com desvio padrão populacional de 1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%.

Exercício 11

 

A partir de uma amostra de 10 indivíduos, mediu–se o tempo que demoravam para a execução de certa tarefa. Essa amostra nos revelou que o tempo médio gasto foi de 110 segundos com desvio padrão de 10 segundos. Construa um intervalo com 95% de confiança para a média populacional. Qual hipótese devemos admitir quanto à distribuição de probabilidade da população?

Exercício 12

 

Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor levou em média 29,2 segundos com uma variância de 5,76 segundos ao quadrado. Construa um intervalo de confiança para o tempo médio com 95% de confiabilidade.

Exercício 13

 

Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para se estar 95% confiante de que a média amostral esteja a uma unidade da média populacional dado que o desvio padrão populacional é 4,8. Assuma que a população é normalmente distribuída.

Exercício 14

 

Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra–nos que 25% deles são casas de aluguel. Construa um intervalo de confiança para a proporção de casas de aluguel com um nível de confiança de 98%.

Exercício 15

 

Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. Com base em um intervalo de confiança de 96%, pode–se dizer que a moeda é honesta?

Exercício 16

 

Para verificar se um dado era viciado, jogou–se o mesmo 120 vezes, obtendo–se 25 vezes o número cinco. Determinar um intervalo de confiança de 99% para a proporção de números cinco. Pode–se dizer que o dado é viciado?

Exercício 17

 

Suponha que as alturas dos alunos de uma faculdade tenham distribuição normal com desvio padrão de 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos, obtendo–se uma média de 175 cm. Construir, ao nível de 95%, o intervalo para a verdadeira altura média dos alunos.

Exercício 18

 

Uma máquina corta plástico em folhas que tem 50 pés de comprimento (600 polegadas). Assuma que a população dos comprimentos é normalmente distribuída.

a) A empresa quer estimar o comprimento médio que a máquina está cortando dentro de 0,125 polegada. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Assuma o desvio padrão da população como sendo 0,25 polegada.

b) Repita o item anterior usando uma tolerância de erro de 0,0625 polegada.

c) Compare os itens a e b.

 

Exercício 19

 

Uma amostra aleatória de 200 habitantes de uma cidade mostrou que 180 desejavam água fluorada. Encontrar os limites de confiança de 90% para a proporção da população favorável à fluoração.

Exercício 20

 

Uma amostra de 25 observações de uma Normal ( ,16) foi coletada e forneceu uma média amostral de 8. Construa um intervalo com confiança 90% e 95% para a média populacional. Comente as diferenças encontradas.

Exercício 21

 

Construa um intervalo de confiança para a média, ao nível de 95%, admitindo a seguinte distribuição amostral, oriunda de uma população normalmente distribuída:

Exercício 22

 

Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o peso de certa peça e que a população seja infinita. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10kg. Logo, admitindo um nível de confiança de 95% e um erro amostral de 1,5kg, determine o tamanho da amostra necessária.

Exercício 23

 

Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9. Para uma confiança de 90%, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 ou 100. Comente as diferenças.

Exercício 24

 

Suponha que uma amostra aleatória de 10 observações aponte s2=2,25. Quais os limites de confiança, a 80%, para a verdadeira variância? Qual foi a hipótese admitida para a distribuição de probabilidade da população?

Exercício 25

 

Supondo uma população Normal, obteve-se a seguinte amostra:

44,9 – 44,1 – 43 – 42,9 – 43,2 – 44,5. Construa um intervalo de confiança, ao nível de 90%:

a) para a média;

b) para a variância.

 

Exercício 26

 

O tempo de espera, em minutos, na fila de um banco segue uma distribuição Normal. Uma amostra de 22 pessoas foi obtida aleatoriamente e verificou-se que o desvio padrão dessa amostra foi de 3,6 minutos. Construa um intervalo de confiança para a variância e para o desvio padrão ao nível de 98% de confiança.

Exercício 27

 

Um fabricante de máquinas para cortar grama está tentando determinar o desvio padrão da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrão da amostra é 3,25 anos. Construa um intervalo de confiança para o desvio padrão ao nível de 99% de confiança.

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