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Mediana

A mediana de um conjunto de valores, colocados em rol, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos (elemento que ocupa a posição central). Em outras palavras, tendo-se um conjunto de dados ordenados de maneira crescente (ROL), a mediana é o valor que separa os 50% dos menores dados dos 50% maiores.

 

Caso I: Dados não agrupados

 

Este primeiro caso se subdivide em 2 casos: ÍMPAR e PAR, de acordo com o valor de n.

 

Exemplo 1 - CASO ÍMPAR

 

Sejam os resultados de 5 lançamentos de um dado: 2, 4, 4, 5, 6. A mediana corresponde ao valor 4, visto que ele é o valor central, deixando 2 dados à sua esquerda e 2 à sua direita. Assim, Md = 4.

 

Note que n=5 (ímpar). A posição ocupada pela mediana é a 3ª. Essa posição poderia ser obtida da seguinte forma:

 

Exemplo 2 - CASO ÍMPAR

 

Sejam as idades de 9 pessoas: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41, 44.

 

Colocando os dados em rol temos: 28, 37, 37, 37, 40, 41, 41, 44, 45.

A mediana corresponde ao valor 40 (ou seja, idade), pois há quatro valores à esquerda de 40 e quatro valores à direita de 40. Assim, Md=40.

Perceba que a posição ocupada pela mediana é a 5ª. Utilizando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, podemos obter essa posição através do seguinte cálculo:

 

Exemplo 3 - CASO PAR

 

Considere o número de filhos de 6 famílias: 0, 0, 1, 2, 3, 3. Perceba que a mediana não poderia ser 1, pois deixaria dois valores à esquerda e três à direita. Da mesma forma, a mediana não poderia ser 2, pois deixaria três valores à esquerda e dois valores à direita. Dessa forma, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais:

Observe que a mediana corresponde à média dos valores que ocupam a 3ª e 4ª posições. Essas posições podem ser obtidas da seguinte forma:

Novamente, vamos ressaltar: a 3ª posição é ocupada pelo valor 1; a 4ª posição é ocupada pelo valor 2. A mediana é, portanto, o valor 1,5.

 

Exemplo 4 - CASO PAR

 

Sejam as idades de 8 pessoas: 21, 24, 28, 31, 34, 35, 38, 38.

 

A mediana corresponde a média aritmética dos dois valores centrais, que são 31 e 34. Assim:

 

Note que o valor 31 anos está na 4ª posição e o valor 34 anos ocupa a 5ª posição. Vamos obter essas posições utilizando a mesma fórmula do exemplo anterior:

Logo, a mediana corresponderá a média dos valores que ocupam as posições calculadas.

Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe

 

Para determinarmos à mediana de uma distribuição de dados discreta, vamos trabalhar com as situações de n par ou n ímpar que citamos nos exemplos do caso I. Para facilitar a localização da posição da mediana, utilizaremos a frequência acumulada.

 

 

Exemplo 1 - n ÍMPAR

 

Considerando a distribuição:

 

Inicialmente, calculamos a posição ocupada pela mediana utilizando a regra de n ímpar:

Na tabela, localizamos a linha que contém a 11ª posição, que no caso é a terceira linha. Verificamos o valor que está nessa linha, que no caso é a idade 15. Assim, Md = 15 anos.

 

Exemplo 2 - n PAR

 

Considere a distribuição:

 

Calculando a posição da mediana, utilizando a regra de n PAR:

 

14/2 = 7ª posição e a seguinte, ou seja, 8ª posição.

 

Ou seja, os valores centrais da distribuição ocupam a 7ª e 8ª posições.

 

Na tabela, vemos que a 7ª posição é ocupada pelo valor (idade) 21 anos, enquanto que a 8ª posição é ocupada pelo valor 22 anos. A mediana da distribuição será:

 

Md = (21+22)/2 = 21,5 anos.

 

Mais uma vez, perceba que a mediana é um valor. As posições são calculadas apenas para que cheguemos a esse valor, que no caso é Md=21,5.

 

Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe

 

Quando estamos trabalhando com variáveis contínuas, ou seja, quando os dados estão agrupados em classes, determinamos a classe na qual se encontra a mediana, que chamaremos de classe mediana. Neste caso, não nos preocuparemos se estamos trabalhando com uma quantidade de dados par ou ímpar, visto que apenas precisamos determinar a classe que contém a mediana. Em seguida, calculamos o valor da mediana através da fórmula:

em que:

 

LMd é o limite inferior da classe mediana;

Fant é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;

h é a amplitude do intervalo da classe mediana;

fMd é a frequência simples (ou absoluta) da classe mediana.

 

Exemplo 1

 

Considere a distribuição:

Vamos verificar qual a classe que contém a mediana. Para isto, vamos calcular a posição ocupada pela mediana:

 

40/2 = 20ª posição.

 

Note que essa posição corresponde à classe 200 |― 220. Esta é a classe mediana. Utilizando a fórmula apresentada:

 

 

Li = 200

Fant = 4

h= 220 – 200 = 20

fMd = 18

 

Exemplo 2

 

Considerando a distribuição:

Cálculo da classe mediana:

 

41/2 = 20,5ª posição. Vamos arredondar para a 21ª posição, visto que uma posição não adminite casas decimais. Na tabela, identificamos que essa posição se encontra na classe 158 |― 162. Usando a fórmula:

 

Li = 158

Fant = 13

h = 162 – 158 = 4

fMd = 11

 

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