Espaço Amostral, Eventos e Combinações de Eventos

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Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral, Eventos e Combinações de Eventos

Entendemos por experimento aleatório os fenômenos que, quando repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. O lançamento de um dado e de uma moeda são considerados exemplos de experimentos aleatórios. No caso dos dados podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento da moeda, dois {cara, coroa}.

 

Do mesmo modo, se considerarmos uma urna com 50 bolas numeradas de 1 a 50, ao retirarmos uma bola não saberemos dizer qual o número sorteado. Essas situações envolvem resultados impossíveis de prever. Podemos relacionar esse tipo de experimento com situações cotidianas, por exemplo, não há como prever a vida útil de todos os aparelhos eletrônicos de um lote, pois isso dependerá das condições de uso impostas pelas pessoas que adquirirem o produto. Outro exemplo que demonstra a característica de um experimento aleatório são as previsões do tempo.

 

Os experimentos aleatórios produzem possíveis resultados que são denominados espaços amostrais. O espaço amostral possui subconjuntos denominados eventos. Como já citado anteriormente, temos que o número possível de elementos no lançamento de um dado é o seu espaço amostral, que geralmente é representado pela letra grega maiúscula ômega ( ). Ou seja, neste caso temos:

 

={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

 

Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os eventos são representados por letras maiúsculas. Podemos definir um evento A da seguinte maneira:

 

A: sair um número par no lançamento de um dado.

 

Neste caso, A={2,4,6},

 

e os subconjuntos, os possíveis eventos são {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}. No caso da moeda, o espaço amostral são os dois possíveis resultados {cara e coroa} e os eventos são {(cara), (coroa)}.

 

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Exemplo 1

 

Uma moeda é lançada 2 vezes. Seja o evento A: sair faces diferentes. Escreva o conjunto que representa o espaço amostral e o evento A.

 

Vamos definir K como sendo sair cara e C sair coroa. Temos:

 

={(K,K), (K,C), (C,K), (C,C)} e

 

A={(K,C), (C,K)}.

 

Perceba que as letras K e C foram colocadas entre parênteses, como se fosse um par ordenado de um plano cartesiano. Isso deve ser feito porque (K,C) é diferente de (C,K). Nessa notação, (K,C) indica a ocorrência de cara no primeiro lançamento e coroa no segundo. Já (C,K) indica cara no primeiro e coroa no segundo.

 

Nota: se ao invés de lançarmos uma moeda duas vezes lançássemos duas moedas simultaneamente, os conjuntos e A seriam exatamente os mesmos.

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União de dois eventos

 

Sejam A e B dois eventos; então A U B corresponde a um evento que ocorrerá quando uma das três condições forem satisfeitas:

 

I.ocorre A e não ocorre B;

II.não ocorre A e ocorre B;

III.ocorre A e ocorre B simultaneamente.

 

Fique atento: na língua portuguesa, quando dizemos “A ou B” estamos pensando em ocorrências exclusivas, ou seja, em “ocorre A e não ocorre B” ou em “não ocorre A e ocorre B”. Por exemplo, se alguém lhe perguntar: “você prefere Guaraná ou Coca-Cola?”, espera-se que a sua resposta seja uma das duas bebidas. Não esperamos que você responda: “quero os dois”. Por isso que a palavra “ou” em português é dita exclusiva. Já pensando na linguagem matemática, “ou” é sinônimo de “união” e, neste caso, quaisquer uma das três respostas mencionadas é coerente. Por isso que “ou” em matemática é dito inclusivo. Graficamente, a região hachurada a seguir representa A U B:

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Interseção de dois eventos

 

Sejam A e B dois eventos; então A  B será um evento que corresponde à ocorrência de A e B simultaneamente. Dessa forma, podemos perceber que o conjunto A B é um subconjunto de A U B:

Eventos mutuamente exclusivos

 

Se A  B = ,A e B são chamados mutuamente exclusivos.

Complementar de um evento

 

Seja A um evento; então (lê-se: “A barra”) será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer. As figuras abaixo ilustram a situação do complementar em relação a A:

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Exemplo 2

 

Suponhamos o lançamento de um dado. Sejam os eventos:

 

A: ocorrer um número ímpar;

B: ocorrer um número primo.

 

Escrever os conjuntos que representam:

 

a) o espaço amostral;

={1,2,3,4,5,6}

 

b) o evento A;

 

A={1,3,5}

 

c) o evento B;

 

Lembre-se que um número primo é aquele que possui exatamente dois divisores: o 1 e ele mesmo. O número 1 possui apenas um divisor, que é o próprio 1. Logo, o número 1 não é primo!

 

B={2,3,5}

 

d) o evento ocorrer um número ímpar ou primo;

 

Esse evento corresponde à união de A com B: A U B = {1,2,3,5}

 

e) o evento ocorrer um número ímpar e primo;

 

Esse evento corresponde à intersecção de A com B:

 

A B = {3,5}

 

f) o evento não ocorrer um número ímpar;

 

É o mesmo que obter o conjunto complementar de A:

 

= {2,4,6}. Ou seja, podemos dizer que é o evento “sair um número par”.

 

g) o evento não ocorrer um número primo.

 

Corresponde ao complementar de B:

 

= {1,4,6}.

 

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