Exercícios de Probabilidade Resolvidos 1

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Exercícios de Probabilidade Resolvidos 1

Exemplo 9

 

Suponhamos o lançamento simultâneo de dois dados. Calcular a probabilidade dos seguintes eventos:

A: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 6.

B: ocorrência de números cuja soma seja 8.

C: ocorrência de números cuja soma seja diferente de 8.

D: ocorrência de números iguais nos dois dados ou de números com soma igual a 8.

E: ocorrência de números múltiplos de 3 em pelo menos um dos dados.

 

Podemos construir o espaço amostral:

 

 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), 2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

 

Perceba que nosso espaço amostral possui 36 elementos e que, portanto, poderá ser um pouco mais difícil trabalharmos com a observação direta desse conjunto. Assim, para situações de lançamentos de 2 dados, podemos recorrer a um método prático de resolução que é a construção de uma tabela. Note que as bordas da tabela representam os resultados dos dados e o centro dela corresponde à soma dos resultados:

Observe que na tabela temos os 36 possíveis resultados do lançamento de dois dados.

 

Para o cálculo de P(A), basta observamos, na tabela, os resultados cuja soma é menor ou igual a 6. São, ao todo, 15 resultados:

Logo, .

 

Com relação ao evento B, observamos facilmente que temos soma igual a 8 em 5 resultados.

 

Portanto, .

 

 

O evento C é o complementar de B. Logo:

 

P(C) + P(B) = 1

P(C) = 1 – P(B)

 

 

 

 

O evento D pede soma igual a 8 ou números iguais nos dois dados. Assim, em nossa tabela, vamos verificar quais são os resultados com soma 8 e aqueles em que os resultados são números idênticos nos dois dados (marcados com X):

Note que o par (4,4) corresponde a intersecção dos dois eventos. Portanto:

Com relação ao evento E, apenas nos interessa os resultados dos dados em si, e não a soma dos resultados. Assim, podemos utilizar uma tabela similar para marcar os resultados que nos interessa. No caso, múltiplos de 3 nos dois dados:

Ao todo, são 20 resultados de interesse. Logo, .

 

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Exemplo 10

 

Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Administração e 10 estudam Engenharia e Administração. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:

 

a) ele estude Administração e Engenharia?

b) ele estude somente Engenharia?

c) ele estude somente Administração?

d) ele não estude Engenharia nem Administração?

e) ele estude Engenharia ou Administração?

 

Uma forma simples de resolver este tipo de exercício é trabalhar com conjuntos. Lembre-se que devemos iniciar sempre a partir da intersecção.

Agora, podemos responder às questões:

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