Método da Árvore de Probabilidades

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Método de resolução: a Árvore de Probabilidades

Eventos independentes

 

Dois eventos são estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Por exemplo: ao lançarmos uma moeda honesta e observarmos o resultado, podemos ter obtido uma cara. Se lançarmos novamente, a probabilidade de obtermos outra cara não será alterada em função do resultado obtido na(s) jogada(s) anterior(es), ou seja, a probabilidade continua sendo 50%.

 

Dessa maneira, se A e B são eventos independentes então

Essa regra é válida para n eventos independentes A1, A2, ..., An. Isto é válido desde que todas as combinações entre dois ou mais eventos sejam independentes:

Caso A e B não sejam eventos independentes, dizemos que A e B são dependentes.

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Exemplo 17

 

Uma experiência consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual a probabilidade de obter a face quatro no dado e duas caras?

 

Como os eventos são, claramente, independentes, visto que o resultado obtido nas moedas e no dado não são influenciados um pelo outro, temos:

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Árvore de Probabilidades

 

Uma maneira de resolver alguns exercícios, sem a necessidade de se escrever todas as possibilidades do espaço amostral, é trabalhar com o que chamamos de árvore de possibilidades ou árvore de probabilidades.

 

A árvore deve partir de um ponto e “passar”, até o final dela, por todas as possibilidades de resultados. Em seus galhos, anotamos as probabilidades de ocorrências. Ao final dela, multiplicamos os resultados de cada galho para sabermos a probabilidade de um evento em específico.

 

 

Exemplo 18

 

Lança-se uma moeda 3 vezes. Sejam os eventos:

 

A: ocorrem pelo menos duas caras.

B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos.

 

Inicialmente, vamos montar apenas as possibilidades. Perceba que, partindo do primeiro galho (lado esquerdo da árvore) e fazendo um caminho completo até o final, obtemos todos os 8 elementos do espaço amostral, conforme mostra o lado direito.

Agora, vamos marcar as probabilidades nos galhos. Neste caso, por se tratar de uma moeda honesta, a probabilidade de cara e de coroa são iguais a 0,5.

Indicamos com as letras A e B os casos de interesse, de acordo com os eventos A e B definidos. Para obtermos as probabilidades de cada evento, basta somarmos os resultados indicados na árvore:

 

P(A) = 4 . 0,125 = 0,5 ou 50% e

 

P(B) = 2 . 0,125 = 0,25 ou 25%.

 

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Exemplo 19

 

Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade da 1ª atingir o alvo é P(A) = 1/4 e a probabilidade da 2ª atingir o alvo é P(B) = 2/3 . Admitindo A e B independentes, se as duas derem um tiro ao alvo cada uma, qual a probabilidade de:

 

a) ambas atingirem o alvo?

b) ao menos uma atingir o alvo?

 

Vamos resolver, novamente, este exemplo usando a árvore de modo a tornar a resolução por este método prática mais clara. Primeiro, construímos a árvore com as possibilidades, marcando em seguida, nos galhos, as probabilidades de ocorrência. A seguir, calculamos as probabilidades de cada caminho, bastando multiplicar as probabilidades anotadas em cada galho:

 

As letras ao lado direito indicam os casos de interesse para respondermos aos itens a e b do enunciado. Assim:

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Exemplo 20

 

As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: P(A) = 1/3 e P(B) = 3/5 . Admitindo que as duas pessoas tentem resolver o problema de forma independente, qual a probabilidade de que:

 

a) ambos resolvam o problema?

b) ao menos um resolva o problema?

c) nenhum resolva o problema?

d) A resolva o problema, mas B não?

e) B resolva o problema, mas A não?

 

Vamos construir a árvore de probabilidades:

 

As probabilidades pedidas são:

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Exemplo 21

 

Suponhamos uma urna contendo bolas idênticas sendo: 4 azuis, 5 vermelhas e 2 roxas. São extraídas 2 bolas sem reposição. Calcule a probabilidade de:

 

a) ser extraída ao menos 1 bola roxa;

b) as duas bolas serem da mesma cor.

 

Inicialmente, devemos verificar que esta situação trata de um caso de dependência, visto que as bolas são extraídas sem reposição. Ou seja, por exemplo, a probabilidade de retirarmos a 1ª bola e ela ser azul é diferente da probabilidade de a 2ª bola a ser retirada ser azul.

 

Vamos construir a árvore de probabilidades por etapas. Na primeira retirada, existem 4+5+2 = 11 bolas na urna. Chamemos as cores das bolas de A, V e R para azul, vermelha e roxa, respectivamente. Assim, teremos as seguintes probabilidades:

 

Na segunda retirada, devemos observar que a 1ª bola não será reposta. Logo, teremos, ao todo, 10 bolas na urna. Se a primeira bola retirada foi a azul, passáramos a ter 3 bolas azuis, 5 vermelhas e 2 roxas dentro da urna. Porém, se a bola retirada foi a vermelha, teremos 4 azuis, 4 vermelhas e 2 roxas. Seguindo essa lógica, podemos escrever as probabilidades para as segundas retiradas:

Para responder ao item a, devemos multiplicar as probabilidades dos galhos da árvore em todos os caminhos indicados com a estrela e somar esses resultados. Assim:

Já para respondermos ao item b, vamos realizar o mesmo procedimento mas com os caminhos indicados com um triângulo:

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