Juros Simples e Juros Compostos

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Juros Simples e Juros Compostos

Conceitos

 

Capital (C) – é o valor inicial da 'rentabilidade' (muitas vezes chamado de capital investido)

 

Juros (J) – é o valor da rentabilidade que pode ocorrer de forma diária, mensal, anual, trimestral, semestral, etc.

 

Montante (M) – é o valor final composto pelo capital somado aos juros

 

Tempo (t) – é a duração do investimento. O tempo deve ter a mesma unidade que a taxa.

 

Taxa (i) – é o valor, na forma de porcentagem, da rentabilidade que poderá ser diária, mensal, anual, etc.

 

Conversões de tempo

 

Sempre que a unidade do tempo (t) for diferente da unidade da taxa (i), devemos converter o tempo.

 

Dentro do estudo da Matemática Financeira, geralmente consideramos que:

 

- 1 mês tem 30 dias;

 

- 1 ano tem 12 meses;

 

- 1 ano tem 360 dias.

 

Para converter dias em meses, basta dividir por 30. Para converter meses em anos, basta dividir por 12. Já para converter meses em dias, multiplicamos por 30. Finalmente, para converter anos em meses, multiplicamos por 12.

conversão de tempo

Já para converter dias em anos, basta dividir por 360 enquanto que para transformar anos em dias devemos multiplicar por 360.

conversão de tempo
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Juros Simples

 

É um sistema de capitalização em que os juros são sempre os mesmos para todos os meses (no caso de se trabalhar com uma capitalização mensal). Ou seja, o valor dos juros é calculado uma única vez sobre o capital inicial e é aplicado em todos os meses considerados na capitalização. Existem casos em que cálculos judiciais utilizam os juros simples.

 

Para entendermos melhor o conceito de juros simples, vamos analisar o exemplo a seguir.

 

Exemplo - fluxo em juros simples

 

Considere uma aplicação de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% a.m. (ao mês). Após 6 meses, qual o valor total disponível nessa aplicação?

 

Do enunciado, obtemos as seguintes informações:

 

Capital: C = 4000

Taxa mensal: i = 5% = 0,05

Tempo: 6 meses

Então, calculamos:

 

Juros ao mês:

5% de 4000

0,05 . 4000 = R$ 200

 

A partir disso, podemos analizar o total acumulado (montante) aplicando esses juros a cada mês que se passa nesse investimento, conforme a figura a seguir:

cálculo utilizando juros simples

Então, podemos concluir que:

 

Juros totais:

6 meses. R$ 200 =

= R$ 1200

 

Montante:

Capital + Juros =

= 4000 + 1200 = R$ 5200

 

Fórmulas - Juros Simples

 

As fórmulas para utilizarmos em juros simples são:

 

fórmula montante juros capital
fórmula juros simples

Onde:

 

J = juros

C = capital

M = montante

i = taxa

t = tempo

 

Lembre-se de que o tempo deve estar na mesma unidade da taxa.

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Exemplo 1

 

Um capital de R$ 2500,00 foi aplicado, a juros simples, a uma taxa de 2,5% a.m. por um período de 12 meses.

 

a) Qual o valor total dos juros?

b) Qual o valor total disponível nessa aplicação no final do período?

 

 

Resolução

 

a) Do enunciado, temos:

C = 2500

i = 2,5% = 0,025

t = 12

 

Usando a fórmula:

 

J = C.i.t

J = 2500 . 0,025 . 12

J = 750

 

Logo, os juros totais são de R$ 750,00.

 

b) A partir da fórmula M = C + J:

 

M = 2500 + 750

M = 3250

 

Logo, no final da aplicação teremos R$ 3250,00.

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Exemplo 2

 

Um capital de R$ 800,00 foi aplicado a taxa de 18% a.a. por um período de 45 meses a juros simples.

 

a) Qual o valor total dos juros?

b) Qual o valor total disponível nessa aplicação no final do período?

 

Resolução

 

a) Do enunciado, temos:

 

C = 800

i = 18% = 0,18

t = 45 meses ÷ 12 = 3,75 anos

 

Usando a fórmula:

 

J = C.i.t

J = 800 . 0,18 . 3,75

J = 540

 

Logo, os juros totais são de R$ 540,00.

 

b) A partir da fórmula M = C + J:

 

M = 800 + 540

M = 1340

 

Logo, no final da aplicação teremos R$ 1340,00.

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Exemplo 3

 

Um capital de R$ 620,00 foi aplicado a juros simples por 18 meses gerando um total de R$ 876,68.

 

a) Qual o valor total dos juros no período considerado?

b) Qual a taxa mensal da aplicação?

 

Resolução

 

a) Do enunciado, temos:

 

C = 620,00

M = 876,68

t = 18 meses

 

Usando a fórmula M = C + J:

 

876,68 = 620,00 + J

J = 876,68 – 620,00

J = R$ 256,68

 

b) J = C.i.t

256,68 = 620,00 . i . 18

256,68 = 11160 . i

i = 256,68 / 11160

i = 0,023

 

Logo, a taxa foi de 2,3% a.m.

 

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Exemplo 4

 

Um capital de R$ 3500,00 foi aplicado a juros simples a uma taxa de 3,5% a.m. resultando em um montante de R$ 6195,00. Qual foi o período da aplicação?

 

Resolução

 

Do enunciado, temos:

 

C = 3500

M = 6195

i = 3,5% a.m. = 0,035

 

Usando a fórmula M = C + J:

 

6195 = 3500 + J

J = 6195 – 3500

J = R$ 2695,00

 

Agora, usamos J = C.i.t:

 

2695 = 3500 . 0,035 . t

2695 = 122,5. t

t = 2695 / 122,5

t = 22 meses

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Juros Compostos

 

É um sistema de capitalização em que os juros são recalculados a cada mês (no caso de se trabalhar com uma capitalização mensal). Ou seja, o valor dos juros é calculado com base no montante obtido no mês anterior. Esse sistema é o famoso “juros sobre juros”. É utilizado em aplicações financeiras como, por exemplo, poupança, fundos e bolsa de valores.

 

Para entendermos melhor o conceito de juros simples, vamos analisar o exemplo a seguir.

 

Exemplo - fluxo em juros simples

 

Considere uma aplicação de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. (ao mês). Após 6 meses, qual o valor total disponível nessa aplicação?

 

Do enunciado, obtemos as seguintes informações:

 

Capital: C = 4000

Taxa mensal: i = 5% = 0,05

Tempo: 6 meses

Então, calculamos:

 

Juros ao mês:

5% de 4000

0,05 . 4000 = R$ 200

 

A partir disso, podemos analizar o total acumulado (montante) aplicando esses juros a cada mês que se passa nesse investimento, conforme a figura a seguir:

cálculo utilizando juros compostos

Logo, podemos verificar que o total de juros é:

 

200,00 + 210,00 + 220,05 + 231,53 + 243,10 + 255,26 = R$ 1359,94

 

Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos

 

A partir do exemplo anterior (utilizando juros compostos) e do exemplo similar a esse feito anteriormente com juros simples, podemos comparar a diferença de juros e do montante final em cada tipo de investimento:

comparação entre juros simples e juros compostos

Fórmulas - Juros Compostos

 

Ao trabalhar com juros compostos, podemos fazer uso das seguintes fórmulas:

 

fórmula montante capita juros
fórmula calculo do montante em juros compostos
fórmula calculo do tempo em juros compostos
fórmula calculo da taxa em juros compostos

Onde:

 

J = juros

C = capital

M = montante

i = taxa

t = tempo

 

Lembre-se de que o tempo deve estar na mesma unidade da taxa.

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Exemplo 5

 

Um capital de R$ 2500,00 foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa de 2,5% a.m. por um período de 12 meses.

 

a) Qual o valor total disponível nessa aplicação no final do período?

b) Qual o valor total dos juros?

 

 

Resolução

 

a) Do enunciado, temos:

 

C = 2500

i = 2,5% = 0,025

t = 12

fórmula calculo do montante em juros compostos

𝑀 = 2500.(1+0,025)12

𝑀 = 2500.1,02512

𝑀 = 𝑅$ 3.362,22

 

b) Usamos a fórmula:

fórmula montante capita juros

3362,22 = 2500 + 𝐽

𝐽 = 3362,22 − 2500

𝐽 = 𝑅$ 862,22

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Exemplo 6

 

Um capital de R$ 800,00 foi aplicado a taxa de 18% a.a. por um período de 45 meses a juros compostos.

 

a) Qual o valor total disponível nessa aplicação no final do período?

b) Qual o valor total dos juros?

 

Resolução

 

a) Do enunciado, temos:

 

C = 800

i = 18% = 0,18

t = 45 meses ÷ 12 = 3,75 anos

 

fórmula calculo do montante em juros compostos

𝑀 = 800. (1+0,18)3,75

𝑀 = 800. (1,18)3,75

𝑀 = 𝑅$ 1.488,15

 

b) Usamos a fórmula:

fórmula montante capita juros

1488,15 = 800 + 𝐽

𝐽 = 1488,15 − 800

𝐽 = 𝑅$ 688,15

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Exemplo 7

 

Um capital de R$ 620,00 foi aplicado a juros compostos por 18 meses gerando um total de R$ 876,68.

 

a) Qual o valor total dos juros no período considerado?

b) Qual a taxa mensal da aplicação?

 

Resolução

 

a) Do enunciado, temos:

 

C = 620,00

M = 876,68

t = 18 meses

fórmula montante capita juros

876,68 = 620 + 𝐽

𝐽 = 876,68 − 620

𝐽 = 𝑅$ 256,68

 

b) Agora, vamos utilizar a fórmula para o cálculo da taxa:

fórmula calculo da taxa em juros compostos
resolução do exemplo 7
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Exemplo 8

 

Um capital de R$ 3500,00 foi aplicado a juros compostos a uma taxa de 3,5% a.m. resultando em um montante de R$ 6281,36. Qual foi o período da aplicação?

 

Resolução

 

Do enunciado, temos:

 

C = 3500

M = 6281,36

i = 3,5% a.m. = 0,035

 

Agora, vamos usar a fórmula para o cálculo do tempo em juros compostos:

 

fórmula calculo do tempo em juros compostos
resolução do exemplo 7
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