Lista de Exercícios 5 - Limites e derivadas

A seguir, você encontrará uma lista de exercícios contendo Limite usando a Regra de L'Hospital, problemas de otimização, construção de gráfico usando derivadas e limites, Regra da Cadeia e do Produto, ponto de máximo, ponto de mínimo e ponto de inflexão.  Todos os exercícios estão resolvidos em vídeo.

Exercício 1

Um importante teorema do cálculo é conhecido como Regra de L’Hospital: se f e g são funções contínuas num ponto x=a, em volta do qual

Exercício 3

Considere a função f(x) = x³ – 3x²  definida no conjunto dos reais.

a) As raízes de uma função são importantes para a construção de um gráfico, visto que elas correspondem aos pontos em que o gráfico cruza o eixo das abscissas (x). Obtenha as raízes reais da função f(x) dada.

b) Calcule a primeira derivada de f(x) e, a partir do estudo do sinal de f’(x), faça o estudo do crescimento e decrescimento da função f(x).

c) Calcule a segunda derivada de f(x) e, a partir do estudo do sinal de f’’(x), faça o estudo das concavidades (para cima ou para baixo) da função f(x).

d) Construa o gráfico da função f(x) utilizando o par de eixos a seguir e usando os resultados obtidos nos itens anteriores. Sabe-se, ainda, que

Exercício 5

Considere a função f(x) = x³ – 3x² – 9x + 1. São feitas as afirmações:

I. x = 3 é um ponto de mínimo local.

II. x = –1  é um ponto de máximo global.

III. x = 1 é um ponto de inflexão.

Estão corretas:

a) apenas uma das afirmações.

b) apenas I e II.

c) apenas II e III.

d) apenas I e III.

e) todas as afirmações.

Exercício 6

A derivada com relação ao tempo da função horária do espaço fornece a expressão da velocidade. A derivada da velocidade fornece a expressão da aceleração. Essas afirmações constam em livros de cálculo e física. Assim, sabendo que expressão da função horária do espaço é

Exercício 8

Seja a função

O valor da primeira derivada de f(x) calculada no ponto a corresponde ao valor de f'(a) que é igual a:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) a.

e) 2a.

Exercício 9

O gráfico de f(x) = –x⁴ + x³ + 2x² + 1 está mostrado a seguir:

Baseado nessas informações, considere as seguintes afirmações:

I. A função f(x) possui duas raízes reais.

II. A função apresenta um ponto de mínimo global em x=0.

III. Dentro do intervalo [1,2], a função possui um ponto de máximo global.

IV. A função f(x) possui três pontos críticos.

V. A função f(x) possui dois pontos de inflexão.

Quantas das afirmações anteriores estão corretas?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4)

5) D

6) D

7) E

8) B

9) D

10) C