Exemplo 1

Uma moeda é lançada 2 vezes. Seja o evento A: sair faces diferentes. Escreva o conjunto que representa o espaço amostral e o evento A.

Vamos definir K como sendo sair cara e C sair coroa. Temos:

Ω = {(K,K), (K,C), (C,K), (C,C)} e

A = {(K,C), (C,K)}.

Perceba que as letras K e C foram colocadas entre parênteses, como se fosse um par ordenado de um plano cartesiano. Isso deve ser feito porque (K,C) é diferente de (C,K). Nessa notação, (K,C) indica a ocorrência de cara no primeiro lançamento e coroa no segundo. Já (C,K) indica coroa no primeiro e cara no segundo.

Nota: se ao invés de lançarmos uma moeda duas vezes lançássemos duas moedas simultaneamente, os conjuntos   e A seriam exatamente os mesmos.

3.2. Interseção de dois eventos

Sejam A e B dois eventos; então A ∩ B será um evento que corresponde à ocorrência de A e B simultaneamente. Dessa forma, podemos perceber que o conjunto A ∩ B é um subconjunto de A U B:

3.3. Eventos mutuamente exclusivos

Se A ∩ B = Ø, A e B são chamados mutuamente exclusivos.

3.4. Complementar de um evento

Seja A um evento; então   

(lê-se: “A barra”) será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer. As figuras abaixo ilustram a situação do complementar em relação a A:

Exemplo 2

Suponhamos o lançamento de um dado. Sejam os eventos:

A: ocorrer um número ímpar;

B: ocorrer um número primo.

Escrever os conjuntos que representam:

a) o espaço amostral;

Ω = {1,2,3,4,5,6}

b) o evento A;

A={1,3,5}

c) o evento B;

Lembre-se que um número primo é aquele que possui exatamente dois divisores: o 1 e ele mesmo. O número 1 possui apenas um divisor, que é o próprio 1. Logo, o número 1 não é primo!

B={2,3,5}

d) o evento ocorrer um número ímpar ou primo;

Esse evento corresponde à união de A com B: A U B = {1,2,3,5}

e) o evento ocorrer um número ímpar e primo;

Esse evento corresponde à intersecção de A com B: A ∩ B = {3,5}

f) o evento não ocorrer um número ímpar;

É o mesmo que obter o conjunto complementar de A:

g) o evento não ocorrer um número primo.

Corresponde ao complementar de B:

4.1. Probabilidade clássica (ou teórica)

É utilizada quando cada resultado de um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer. Ela é calculada pela fórmula:

A probabilidade de ocorrer um evento E é sempre um valor entre 0 e 1, ou seja, entre 0% e 100%:

     0 ≤ P(E) ≤ 1

Quando a probabilidade de um evento for 0, isso significa que não há possibilidades desse evento ocorrer. Por isso, dizemos que é um evento impossível. Em contrapartida, se a probabilidade for igual a 1, isto é, a 100%, isso indica que com certeza ocorrerá tal evento. Por isso dizemos que é um evento certo.

Exemplo 3

Lança-se um dado. Sejam os eventos:

A: obter número 5;

B: obter número 1 ou 6;

C: obter número 7;

D: obter um número de 1 a 6.

Calcular a probabilidade de ocorrer cada um dos eventos citados.

Inicialmente, vamos escrever o espaço amostral e os conjuntos que representam cada um dos eventos citados:

Ω = {1,2,3,4,5,6}

A = {5}

B = {1,6}

C = Ø (pois não existe o número 7 no dado)

D = {1,2,3,4,5,6}

Utilizando a definição de probabilidade, temos:

P(A) = 1/6 = 0,1667 ou 16,67%

P(B) = 2/6 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%

P(C) = 0/6 = 0, ou seja, o evento C é chamado de evento impossível.

P(D) = 6/6 = 1 ou 100%, ou seja, o evento D é chamado de evento certo.

4.2. Probabilidade empírica (ou estatística)

Quando um experimento (por exemplo, lançar um dado ou lançar uma moeda) é repetido muitas vezes, são formados padrões regulares que permitem encontrar a probabilidade empírica de que determinado evento ocorra.

Por exemplo: ao lançarmos uma moeda 10 vezes, pode ser que ocorra obtermos 2 caras e 8 coroas. Porém, isso não significa que a probabilidade de ocorrer cara não seja 50%. Se repetirmos o experimento lançar uma moeda em torno de 10.000 vezes, é muito provável que o número de caras observadas seja um valor bastante próximo de 5.000.

Esse fato é explicado pela Lei dos Grandes Números: conforme um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da sua probabilidade teórica (real).

A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa do evento E, ou seja:

Exemplo 4

Em um Serviço de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, é perguntado sobre o grau de satisfação do cliente com os serviços prestados. Em 1000 atendimentos, 550 consumidores disseram estar “muito satisfeitos”; 300 apenas “satisfeitos”; e o restante, “insatisfeitos”. Qual a probabilidade de a empresa receber a ligação de um cliente “insatisfeito”?

Temos um total de 1000 – 550 – 300 = 150 clientes insatisfeitos. Seja o evento A definido por receber a ligação de um cliente insatisfeito. Assim:

P(A) = 150 / 1000 = 0,15 ou 15%.

Logo, a probabilidade de a empresa receber a ligação de um cliente “insatisfeito” é de 15%.

Ou ainda:

Logo, a probabilidade é de 99,5%.

Exemplo 6

Segundo os meteorologistas, a probabilidade de fazer um dia ensolarado é 45%; ficar nublado é 30%. Qual a probabilidade de chover? Admita que essas são as únicas possibilidades de ocorrência.

Vamos definir os eventos:

S: o dia será ensolarado;

N: o dia ficará nublado;

C: haverá chuva no dia.

Como a soma de todas as probabilidades é sempre igual a 1, então:

P(S) + P(N) + P(C) = 1

0,45 + 0,30 + P(C) = 1

P(C) = 1 – 0,45 – 0,30

P(C) = 0,25.

Ou seja, a probabilidade de chover é de 25%.

Exemplo 7

Escolhendo-se aleatoriamente um número natural de 1 a 20, qual é a probabilidade desse número ser múltiplo de 2 ou 3?

Sejam os eventos:

A: o número ser múltiplo de 2;

B: o número ser múltiplo de 3.

Logo, concluímos que:

A U B: o número ser múltiplo de 2 ou 3;

A ∩ B: o número ser múltiplo de 2 e 3.

Os conjuntos são:

A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

B = {3,6,9,12,15,18}

A ∩ B = {6,12,18}

As probabilidades são:

P(A) = 10/20

P(B) = 6/20

P(A ∩ B) = 3/20

Logo,

P(A U B) = 10/20 + 6/20 + 3/20 = 13/20.

Observe que esse valor poderia ser obtido diretamente da definição de probabilidade escrevendo o conjunto:

A U B = {2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20},

que possui 13 elementos.

Exemplo 9

Suponhamos o lançamento simultâneo de dois dados. Calcular a probabilidade dos seguintes eventos:

A: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 6.

B: ocorrência de números cuja soma seja 8.

C: ocorrência de números cuja soma seja diferente de 8.

D: ocorrência de números iguais nos dois dados ou de números com soma igual a 8.

E: ocorrência de números múltiplos de 3 em pelo menos um dos dados.

Podemos construir o espaço amostral:

Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3),  2,4), (2,5), (2,6),  (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1),   (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

Perceba que nosso espaço amostral possui 36 elementos e que, portanto, poderá ser um pouco mais difícil trabalharmos com a observação direta desse conjunto. Assim, para situações de lançamentos de 2 dados, podemos recorrer a um método prático de resolução que é a construção de uma tabela. Note que as bordas da tabela representam os resultados dos dados e o centro dela corresponde à soma dos resultados:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Observe que na tabela temos os 36 possíveis resultados do lançamento de dois dados.

Para o cálculo de P(A), basta observamos, na tabela, os resultados cuja soma é menor ou igual a 6. São, ao todo, 15 resultados:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Logo, P(A) = 15/36 = 5/12.

Com relação ao evento B, observamos facilmente que temos soma igual a 8 em 5 resultados. Portanto P(B) = 5/36.

O evento C é o complementar de B. Logo:

P(C) + P(B) = 1

P(C) = 1 – P(B)

P(C) = 1 - 5/36 = 31/36.

O evento D pede soma igual a 8 ou números iguais nos dois dados. Assim, em nossa tabela, vamos verificar quais são os resultados com soma 8 e aqueles em que os resultados são números idênticos nos dois dados (marcados com X):

	1	2	3	4	5	6
1	X
2		X				8
3			X		8
4				8
5			8		X
6		8				X

Note que o par (4,4) corresponde a intersecção dos dois eventos. Portanto:

P(D) = 10/36 = 5/18.

Com relação ao evento E, apenas nos interessa os resultados dos dados em si, e não a soma dos resultados. Assim, podemos utilizar uma tabela similar para marcar os resultados que nos interessa. No caso, múltiplos de 3 nos dois dados:

	1	2	3	4	5	6
1			X			X
2			X			X
3	X	X	X	X	X	X
4			X			X
5			X			X
6	X	X	X	X	X	X

Ao todo, são 20 resultados de interesse. Logo, P(E) = 20/36 = 5/9.

Agora, podemos responder às questões:

a) P(A ∩ E) = 10/500 = 1/50

b) P(apenas E) = 70/500 = 7/50

c) P(apenas A) = 140/500 = 7/25

d) P(não A e não E) = 280/500 = 14/25

e) P(A U E) = (140+10+70)/500 = 220/500 = 11/25

Exemplo 11

Uma urna contém 50 bolas idênticas. Se as bolas forem numeradas de 1 a 50, qual a probabilidade de, em uma extração ao acaso:

a) obtermos a bola de número 27?

Nosso espaço amostral é Ω = { 1, 2, ..., 50} e é equiprovável. Ocorrer a bola 27 significa que o evento possui apenas 1 elemento. Logo:

P(A) = 1/50.

b) obtermos uma bola de número par?

Perceba que existem, de 1 a 50, 25 bolas pares. Ou seja, nosso evento é composto por 25 elementos. Assim:

P(B) = 25/50 = 1/2.

c) obtermos uma bola de número maior que 20?

O evento aqui é C = { 21, 22, ..., 50}, composto por 30 elementos. Logo:

P(C) = 30/50 = 3/5.

Calcule a probabilidade de ser sorteado cada um dos números mostrados.

Observe que o espaço amostral é Ω = {1, 2, 3}. Porém, é natural percebemos que a chance de ser sorteado o número 3 é maior que de sair o número 1 ou 2. Logo, se trata de um espaço não equiprovável.

Se dividirmos o círculo em 4 partes iguais, percebemos que o número 1 e o número 2 ocupam uma das quatro partes cada um. Já o número 3 ocupa duas das quatro partes. Dessa forma, é fácil concluir que:

P(1) = 1/4

P(2) = 1/4

P(3) = 2/4 = 1/2.

Resumidamente, perceba que a probabilidade de ocorrer cada um dos números é diretamente proporcional à área desses números na roleta.

Exemplo 13

A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é 0,62. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa?

Embora se trate de mais um caso de espaço não equiprovável, a resolução deste exemplo é praticamente intuitiva. Seja K o evento sair cara e C sair coroa. Então:

P(K) + P(C) = 1

P(C) = 1 – 0,62

P(C) = 0,38 ou 38%

Exemplo 14

Em uma moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. Calcule a probabilidade de ocorrer cara em um lançamento dessa moeda.

Usando as mesmas suposições do exemplo anterior temos também que:

P(K) = 4.P(C).

Como P(K) + P(C) = 1, substituindo a expressão anterior temos:

4.P(C) + P(C) = 1

5.P(C) = 1

P(C) = 1/5

Logo, P(K) = 4/5.

Exemplo 15

Três cavalos P, Q e R disputam um páreo, no qual só se premiará o vencedor. Um apostador afirma que a probabilidade de P vencer é o dobro da probabilidade de Q e que Q tem o triplo da probabilidade de ganhar de R. Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer?

Pelo enunciado temos:

P(P) = 2.P(Q)      (I)

P(Q) = 3.P(R) .     (II)

Substituindo (II) em (I) temos:

P(P) = 2.3.P(R)

P(P) = 6.P(R).      (III)

Sabemos que

P(P) + P(Q) + P(R) = 1.     (IV)

Substituindo (II) e (III) em (IV) obtemos:

6.P(R) + 3.P(R) + P(R) = 1

10.P(R) = 1

P(R) = 1/10

Substituindo o resultado em (II) e (III) obtemos:

P(Q) = 3/10

P(P) = 6/10

Exemplo 16

Em um lançamento de um dado viciado, a probabilidade de observarmos um número é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de ocorrer número maior ou igual a 5.

Seja k um número real. A probabilidade de ocorrer uma face é proporcional ao valor dessa face. Então, temos a tabela:

face	probabilidade
1	k
2	2k
3	3k
4	4k
5	5k
6	6k
soma	21k

k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1

21k = 1

k = 1/21

As probabilidades de ocorrer face 5 e 6 são, respectivamente, 5/21 e 6/21. Portanto,

P(face maior ou igual a 5) = 5/21 + 6/21 = 11/21

Exemplo 17

Uma experiência consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual a probabilidade de obter a face quatro no dado e duas caras?

Como os eventos são, claramente, independentes, visto que o resultado obtido nas moedas e no dado não são influenciados um pelo outro, temos:

P(K ∩ K ∩ 4) = P(K) . P(K) . P(4) = 1/2 . 1/2 . 1/6 = 1/24

9.1. Método da árvore de probabilidades

Exemplo 18

Lança-se uma moeda 3 vezes. Calcule a probabilidade dos eventos:

A: ocorrem pelo menos duas caras.

B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos.

Novamente, estamos trabalhando com eventos independentes. Uma maneira de resolver este exercício, sem a necessidade de se escrever todas as possibilidades do espaço amostral, é trabalhar com o que chamamos de árvore de possibilidades ou árvore de probabilidades. A árvore deve partir de um ponto e “passar”, até o final dela, por todas as possibilidades de resultados. Em seus galhos, anotamos as probabilidades de ocorrências. Ao final dela, multiplicamos os resultados de cada galho para sabermos a probabilidade de um evento em específico.

Inicialmente, vamos montar apenas as possibilidades. Perceba que, partindo do primeiro galho (lado esquerdo da árvore) e fazendo um caminho completo até o final, obtemos todos os 8 elementos do espaço amostral, conforme mostra o lado direito.

Agora, vamos marcar as probabilidades nos galhos. Neste caso, por se tratar de uma moeda honesta, a probabilidade de cara e de coroa são iguais a 0,5.

Exemplo 19

Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade da 1a atingir o alvo é P(A) =   e a probabilidade da 2a atingir o alvo é P(B) =  . Admitindo A e B independentes, se as duas derem um tiro ao alvo cada uma, qual a probabilidade de:

a) ambas atingirem o alvo?

b) ao menos uma atingir o alvo?

Vamos resolver, novamente, este exemplo usando a árvore de modo a tornar a resolução por este método prática mais clara. Primeiro, construímos a árvore com as possibilidades, marcando em seguida, nos galhos, as probabilidades de ocorrência. A seguir, calculamos as probabilidades de cada caminho, bastando multiplicar as probabilidades anotadas em cada galho:

As probabilidades pedidas são:

a) P(ambos resolvam) = 3/15.

b) P(ao menos um resolva) = 3/15 + 2/15 + 6/15.

c) P(nenhum resolva) = 4/15.

d) P(A resolva e B não) = 2/15.

e) P(A não resolva e B resolva) = 6/15.

Na segunda retirada, devemos observar que a 1ª bola não será reposta. Logo, teremos, ao todo, 10 bolas na urna. Se a primeira bola retirada foi a azul, passáramos a ter 3 bolas azuis, 5 vermelhas e 2 roxas dentro da urna. Porém, se a bola retirada foi a vermelha, teremos 4 azuis, 4 vermelhas e 2 roxas. Seguindo essa lógica, podemos escrever as probabilidades para as segundas retiradas: