2. Estimativa por intervalo, o nível de confiança e de significância

Uma estimativa por intervalo para um parâmetro populacional é um intervalo determinado por dois números, obtidos a partir de elementos amostrais, que se espera que contenham o valor do parâmetro (populacional) com um dado nível de confiança ɣ (lê–se: “gama”). Geralmente, trabalhamos com 90% ≤ ɣ ≤ 99%. Valores menores que 90% para o nível de confiança não são utilizados, pois possuem pouca “precisão”, ou seja, a confiabilidade é muito “pequena”. Valores acima de 99%, embora consistam em uma confiança elevada, acarretam problemas de cálculo: ou obtemos intervalos muito grandes ou necessitamos de amostras muito grandes, o que pode inviabilizar a pesquisa, a coleta de dados, elevando o seu custo.

Em algumas situações, pode ser dado, ao invés do nível de confiança, o nível de significância α (lê-se: "alfa"). A relação entre eles é que

     ɣ = 1 - α 

É importante atentar para o risco do erro, quando se constrói um intervalo de confiança. Se o nível de confiança é de 95%, o risco do erro da inferência estatística será de 5%. Assim: se construíssemos 100 intervalos, baseados em 100 amostras de tamanhos iguais, poderíamos esperar que 95 desses intervalos (95% deles) iriam conter o parâmetro populacional sob estudo, enquanto cinco intervalos (5% deles) não iriam conter o parâmetro.

Para exemplificar, vamos supor θ um parâmetro populacional. Vamos admitir a seleção de 10 amostras de mesmo tamanho e um nível de confiança de 90%. A figura seguinte mostra os intervalos obtidos.

Os segmentos horizontais representam os 10 intervalos, e a reta vertical representa a localização do parâmetro θ  Nota-se que o parâmetro é fixo e que a localização do intervalo varia de amostra para amostra. Por conseguinte, podemos falar em termos da "probabilidade de o intervalo incluir θ", e não em termos da "probabilidade de  pertencer ao intervalo", já que  é fixo. O intervalo é aleatório. Na prática, somente um intervalo é construído por meio da amostra aleatória obtida. Como utilizamos uma confiança igual a 90%, perceba que apenas 9 dos 10 intervalos construídos contém o verdadeiro parâmetro θ:

3. Intervalo de Confiança para a Média Populacional quando a Variância é Conhecida

Neste primeiro tópico, mostraremos a lógica para se obter um intervalo de confiança. Nos casos seguintes, a técnica é a mesma e, por isso, seremos mais breves nas explicações teóricas.

Como vimos anteriormente, a distribuição de probabilidade da média amostral é:

- para populações infinitas:

O intervalo de confiança para a média populacional é tal que:

De forma mais simples, podemos escrever que o intervalo de confiança para a média populacional, quando a variância for conhecida é dado pela fórmula:

em que o erro (ou erro máximo da estimativa ou tolerância de erro) é dado pela fórmula:

em que o erro (ou erro máximo da estimativa ou tolerância de erro) é dado pela fórmula:

Exemplo 1

A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que σ=5 horas. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo–se média de 500 horas. Desejamos construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança.

Resolução

Inicialmente, vamos obter o valor crítico da distribuição utilizando a tabela da Normal Padrão: queremos encontrar os valores zc e –zc de modo que a probabilidade dos valores compreendidos entre zc e –zc seja igual a 95%, ou seja, ao nível de confiança. Como a curva é simétrica, temos que a área compreendida entre 0 e zc vale 95% / 2 = 47,5%. Logo, devemos buscar o valor que mais se aproxima de 0,475 na tabela:

Assim, percebemos que, coincidentemente, há o valor 0,475 exato, correspondendo a um valor crítico z c =1,96. Agora, basta aplicarmos a fórmula:

Portanto, os limites do nosso intervalo serão:

500 + 0,98 = 500,98 e

500 – 0,98 = 499,02.

Ou seja,

P(499,02 ≤ μ ≤ 500,98) = 0,95.

Ou, ainda, de maneira mais simples:

IC = [499,02 ; 500,98].

Interpretação: o intervalo [499,02 ; 500,98] contém a verdadeira duração média da peça com 95% de confiança. Isso significa que, se forem construídos intervalos dessa mesma maneira, 95% desses intervalos devem conter μ.

Exemplo 2

Vamos considerar o exemplo anterior, mas, agora, suponha que tenhamos uma população de 1000 peças. 

Nesse caso, o intervalo para a média será:

Calculando os limites inferior e superior do IC, obtemos:

1,69 – 0,07 = 1,62  e  1,69 + 0,07 = 1,76.

Assim: IC = [1,62 ; 1,76].

Alternativamente, poderíamos escrever: P(1,62 ≤ μ ≤ 1,76) = 0,98.

Exemplo 4

Deseja–se estimar o número médio de frases em anúncios de revistas. De estudos anteriores, sabe–se que a distribuição é Normal com desvio padrão igual a 5 frases. Quantos anúncios de revista devem ser incluídos na amostra se você quer ter 95% de confiança e não errar mais do que 1 frase da média populacional?

Resolução

Vimos que o erro é dado por

4. Intervalo de Confiança para a Média Populacional quando a Variância é Desconhecida

Quando temos pequenas amostras e não conhecemos o valor do desvio padrão populacional, construímos intervalos de confiança para a média populacional utilizando a distribuição t de Student para encontrar os valores críticos (t c) com (n–1) graus de liberdade.

Como a variância populacional é desconhecida, deveremos utilizar a variância amostral e, consequentemente, o desvio padrão amostral (s).As fórmulas dos intervalos de confiança para a média populacional quando a variância populacional é desconhecida são:

Populações infinitas:

Populações finitas:

4.1. A distribuição t de Student

Possui as seguintes características:

1) A distribuição t tem a forma de sino e é simétrica em relação à média.

2) A distribuição t é uma família de curvas, cada uma determinada por um parâmetro chamado de grau de liberdade. Os graus de liberdade são o número de escolhas livres deixadas depois que uma amostra estatística tal como  é calculada. Quando usamos a distribuição t para estimar a média da população, os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um: g.l. = n – 1.

3) A área total sob a curva é 1 ou 100%.

4) A média, moda e mediana da distribuição t são iguais a zero.

5) Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição t se aproxima da distribuição Normal. Para mais de 30 graus de liberdade, a distribuição t está tão próxima da Normal, que podemos trabalhar diretamente com a tabela da Normal Padrão (isso é apenas uma referência e pode variar conforme a tabela que se está utilizando).

4.3. A tabela da distribuição t-Student

Na tabela t de Student, ou t-Student, além dos graus de liberdade, você deverá procurar a coluna correspondente a p, conforme ilustra a figura seguinte:

Tabela t-Student

A seguir, um exemplo de tabela t-Student. Essa tabela chega a 120 graus de liberdade. Outras tabelas podem possuir outros valores como algo em torno de 30 ou 40. Os valores de p também podem variar de tabela para tabela.

Os graus de liberdade da distribuição são: g.l.= n–1 = 10–1 = 9.

Para usarmos a tabela, devemos observar a coluna correspondente a p=5% (pois 100% – 95% = 5%):

5. Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional

Agora, queremos construir um intervalo de confiança para a proporção populacional p. Lembrando que a estimativa pontual de p é dada pela proporção de sucessos em uma amostra e é denotada por (na fórmula, lê-se "p chapéu"):

E, ainda,

que é a proporção amostral de fracassos.

Antes de construir um intervalo para a proporção, devemos verificar se a distribuição de amostragem de p (no caso, p chapéu) pode ser aproximada pela distribuição Normal. Isso ocorrerá se forem satisfeitas as condições:

Lembre–se: uma população é considerada finita quando

Importante: quando não possuímos uma estimativa prévia do valor de "p chapéu" (proposrção amostral) utilizamos uma abordagem conservadora para o cálculo do intervalo de confiança, baseada no fato de que a expressão p(1–p) possui valor máximo igual a ¼ quando 0 ≤ p ≤ 1. Você pode verificar isso construindo o gráfico da função p(1–p) e achando o seu valor máximo no intervalo [0;1].  Neste caso, a margem de erro é:

Exemplo 7

Pretende–se estimar a proporção de cura, através do uso de um certo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento em 200 pacientes, escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção da população em geral para um nível de confiança de 95%?

Resolução

Inicialmente, vamos calcular a proporção amostral:

Exemplo 8

O gráfico a seguir foi feito com base em uma pesquisa entre 900 norte–americanos adultos. Construa um intervalo de 99% de confiança para a população de adultos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos.

Resolução

A partir do gráfico temos que

Na tabela da Normal, devemos buscar uma probabilidade compreendida entre 0 e zc igual a 0,495. Perceba que esse valor não existe na tabela, porém, ele é o ponto médio dos valores 0,4949 correspondendo a zc=2,57 e 0,4951 correspondendo a zc=2,58. Pelo fato de essa probabilidade ser o ponto médio das probabilidades encontradas, trabalharemos, para uma melhor aproximação, com o ponto médio dos valores críticos da tabela, ou seja:

Exemplo 9

Você está analisando uma campanha política e quer estimar, com 95% de confiança, a proporção dos eleitores que irão votar em um determinado candidato. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da população real. Encontre o número mínimo da amostra necessária se:

a) não há nenhuma estimativa prévia;

b) há uma estimativa prévia de

6.1. A distribuição qui-quadrado

A distribuição qui-quadrado (representa-se por χ²) é uma família de curvas, cada uma determinada pelos graus de liberdade. Para formar um intervalo de confiança para , usa-se a distribuição χ² com graus de liberdade iguais a um a menos do que o tamanho da amostra, ou seja, g.l. = n – 1 .

Além disso, a área abaixo da curva da distribuição χ² é igual a 1 e as distribuições qui-quadrado são assimétricas positivas. A distribuição qui-quadrado é utilizada quando estamos analisando a variância de uma amostra quando essa amostra é proveniente de uma população normalmente distribuída.

Abaixo, temos os gráficos de algumas distribuições qui-quadrado segundo os graus de liberdade:

6.2. A tabela da distribuição qui-quadrado

Para a construção de intervalos de confiança para a variância e o desvio padrão, devemos obter dois valores na tabela da qui-quadrado, que chamaremos de χ²inf  e χ²sup . Note que a tabela nos fornece a área à direita do valor observado.

Exemplo 10

Vamos encontrar os valores críticos χ²inf  e χ²sup para um intervalo de confiança de 90%, quando o tamanho da amostra for igual a 20.

Resolução

Os graus de liberdade são: g.l. = n – 1 = 20 – 1 = 19.

Para um intervalo de 90%, teremos uma área de 5% à esquerda de χ²inf e de 5% à direita de χ²sup. Mas, para utilizarmos a tabela, devemos pensar em valores à direita e, portanto, temos de 95% à direita de χ²inf e 5% à direita de χ²sup, conforme ilustra a figura:

6.3. Intervalo de confiança para a Variância

A fórmula do intervalo de confiança para a variância é dada a seguir. Note que o valor de qui-quadrado superior está no termo da esquerda e o valor de qui-quadrado inferior está no termo da direita. Isso está correto!

6.4. Intervalo de confiança para o Desvio Padrão

A fórmula do intervalo de confiança para o desvio padrão é:

6) Num grupo de pacientes, o nível de colesterol é uma variável aleatória com distribuição Normal com variância 64 (mg/ml)2. Para uma amostra de 46 indivíduos que forneceu nível médio de colesterol de 120 mg/ml, construa o intervalo de confiança de 88%.

7) Da experiência passada, sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças da 5ª série é 5 cm. Colhendo uma amostra de 36 dessas crianças, observou-se a média de 150cm. Qual o intervalo de confiança de 95% para a média populacional? Interprete.

8) Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão de 2 unidades. Utilizando os valores 4,9 ; 7,0 ; 8,1 ; 4,5 ; 5,6 ; 6,8 ; 7,2 ; 5,7 ; 6,2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confiança para a resistência média com uma confiança de 90%.

9) Em uma empresa de vendas, as comissões de uma amostra de 130 vendedores são apresentadas na tabela a seguir:

Construa um intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro salário médio dos vendedores dessa empresa.

10) Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando–se para uma determinada medida uma média de 5,2 mm. Sabendo que as medidas tem distribuição Normal com desvio padrão populacional de 1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%.

11) A partir de uma amostra de 10 indivíduos, mediu–se o tempo que demoravam para a execução de certa tarefa. Essa amostra nos revelou que o tempo médio gasto foi de 110 segundos com desvio padrão de 10 segundos. Construa um intervalo com 95% de confiança para a média populacional. Qual hipótese devemos admitir quanto à distribuição de probabilidade da população?

12) Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor levou em média 29,2 segundos com uma variância de 5,76 segundos ao quadrado. Construa um intervalo de confiança para o tempo médio com 95% de confiabilidade.

13) Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para se estar 95% confiante de que a média amostral esteja a uma unidade da média populacional dado que o desvio padrão populacional é 4,8. Assuma que a população é normalmente distribuída.

14) Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra–nos que 25% deles são casas de aluguel. Construa um intervalo de confiança para a proporção de casas de aluguel com um nível de confiança de 98%.

15) Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. Com base em um intervalo de confiança de 96%, pode–se dizer que a moeda é honesta?

16) Para verificar se um dado era viciado, jogou–se o mesmo 120 vezes, obtendo–se 25 vezes o número cinco. Determinar um intervalo de confiança de 99% para a proporção de números cinco. Pode–se dizer que o dado é viciado?

17) Suponha que as alturas dos alunos de uma faculdade tenham distribuição normal com desvio padrão de 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos, obtendo–se uma média de 175 cm. Construir, ao nível de 95%, o intervalo para a verdadeira altura média dos alunos.

18) Uma máquina corta plástico em folhas que tem 50 pés de comprimento (600 polegadas). Assuma que a população dos comprimentos é normalmente distribuída.

a) A empresa quer estimar o comprimento médio que a máquina está cortando dentro de 0,125 polegada. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Assuma o desvio padrão da população como sendo 0,25 polegada.

b) Repita o item anterior usando uma tolerância de erro de 0,0625 polegada.

c) Compare os itens a e b.

19) Uma amostra aleatória de 200 habitantes de uma cidade mostrou que 180 desejavam água fluorada. Encontrar os limites de confiança de 90% para a proporção da população favorável à fluoração.

20) Uma amostra de 25 observações de uma Normal (,16) foi coletada e forneceu uma média amostral de 8. Construa um intervalo com confiança 90% e 95% para a média populacional. Comente as diferenças encontradas.

21) Construa um intervalo de confiança para a média, ao nível de 95%, admitindo a seguinte distribuição amostral, oriunda de uma população normalmente distribuída:

22) Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o peso de certa peça e que a população seja infinita. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10kg. Logo, admitindo um nível de confiança de 95% e um erro amostral de 1,5kg, determine o tamanho da amostra necessária.

23) Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9. Para uma confiança de 90%, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 ou 100. Comente as diferenças.

24) Suponha que uma amostra aleatória de 10 observações aponte s2=2,25. Quais os limites de confiança, a 80%, para a verdadeira variância? Qual foi a hipótese admitida para a distribuição de probabilidade da população?

25) Supondo uma população Normal, obteve-se a seguinte amostra:

44,9 – 44,1 – 43 – 42,9 – 43,2 – 44,5. Construa um intervalo de confiança, ao nível de 90%:

a) para a média;

b) para a variância.

26) O tempo de espera, em minutos, na fila de um banco segue uma distribuição Normal. Uma amostra de 22 pessoas foi obtida aleatoriamente e verificou-se que o desvio padrão dessa amostra foi de 3,6 minutos. Construa um intervalo de confiança para a variância e para o desvio padrão ao nível de 98% de confiança.

27) Um fabricante de máquinas para cortar grama está tentando determinar o desvio padrão da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrão da amostra é 3,25 anos. Construa um intervalo de confiança para o desvio padrão ao nível de 99% de confiança.