2. Fatorial

Antes de continuarmos no estudo da combinatória, precisamos ver o que é fatorial.

Seja n um número natural com n≥2. Definimos o fatorial do número n pelo símbolo n! tal que

   n! = n.(n-1).(n-2). ... .3.2..1

Por definição,

   0!=1

   1!=1

Exemplos

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

3! = 3.2.1 = 6

A partir da definição, podemos desenvolver técnicas de simplificação de expressões que envolvam fatoriais. Inicialmente, note que

7! = 7.6.(5.4.3.2.1) = 7.6.5!

Inclusive, podemos simplificar expressões algébricas:

Exemplo 1

Vamos começar com um caso bastante simples: uma pessoa tem 3 camisas, 2 calças e 2 cintos diferentes. De quantas maneiras essa pessoa pode se vestir?

Uma forma de resolver esse problema é utilizando a chamada “árvore de possibilidades”:

Exemplo 2

Qual o número de linhas telefônicas móveis (celulares) disponíveis da cidade de São Paulo?

Observação: na época da criação deste exercício, os números dos telefones celulares tinham 8 dígitos e iniciavam com 7, 8 ou 9.

Sabemos que os números de telefones são formados por 8 algarismos e que os celulares começam por 7, 8 ou 9. Assim, esquematicamente, o número de possibilidades para cada algarismo é:

4. Permutação sem repetição

Este é o primeiro caso que estamos vendo que trata de métodos de contagem com a utilização de uma fórmula. A compreensão desta situação bem como as seguintes dar-se-á através de exemplos de aplicação.

Suposições:

•             não há elementos repetidos;

•             a ordem importa;

•             todos os elementos são utilizados de uma só vez.

A permutação de n elementos é dada por

     P n  = n!

Exemplo 3

Um caso clássico de permutação é aquele que envolve anagramas. Um anagrama é uma sequência de letras que se transpõem e que pode ou não ter sentido. Consideremos a palavra LIVRO. São anagramas dessa palavra:

LIVRO

IVROL

LROVI

OIRVL

    .

    .

    .

Ao todo, quantos anagramas temos? Vamos utilizar o PFC. Imaginemos que temos 5 bolas, cada uma com uma letra:

Temos, também, 5 caixas vazias onde serão colocadas cada uma das bolas (1 bola em cada caixa):

Exemplo 5b

Seja a palavra MATANÇA (7 letras, 3 repetidas). Ao todo, teríamos P7 = 7! = 5040 anagramas (supondo a não repetição). Fixemos o anagrama TANAMAÇ. Caso as letras “A” fossem distintas, teríamos, para as demais letras fixadas, P3 = 3! = 6 anagramas:

Porém, tais letras são indistinguíveis. Ou seja, para cada disposição das letras, há 6 anagramas idênticos. Logo, o número de anagramas diferentes da palavra MATANÇA é

Cálculo de Arranjo em calculadoras científicas

Se você quiser calcular um arranjo utilizando alguma calculadora científica, verifique se ela possui um botão (ou uma função) geralmente representada, geralmente, por nPr.

No vídeo a seguir você verá como calcular o arranjo usando uma calculadora científica da Casio.

Exemplo 6

Uma pessoa dispõe dos símbolos

Exemplo 7

Numa sala com 10 pessoas, vai-se selecionar aleatoriamente 4 pessoas para se colocar numa fila de atendimento. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Novamente, a ordem importa, pois ser o 1° da fila é diferente de ser o último. Assim:

Ou seja, A n,n = P n. Logo, a permutação sem repetição é um caso particular de arranjo.

Cálculo de Combinação em calculadoras científicas

Se você quiser calcular uma combinação utilizando alguma calculadora científica, verifique se ela possui um botão (ou uma função) geralmente representada, geralmente, por nCr.

No vídeo a seguir você verá como calcular a combinação usando uma calculadora científica da Casio.

Exemplo 8

Seja um grupo de 10 funcionários de uma empresa. Deseja-se formar uma comissão de 4 pessoas. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?

Note que a ordem não importa, visto que, escolhendo as pessoas A,B,C e D ou B,D,C e A estamos formando a mesma comissão (o que importa é que as 4 pessoas foram escolhidas e não a ordem com que elas foram escolhidas). Utilizaremos a combinação de 10 elementos tomados 4 a 4:

Exemplo 11: placas de carros

Suponhamos que as placas de carros com iniciais B, C e D pertençam à cidade de São Paulo (ou seja, ABC 1234 não pertence, por exemplo). Na elaboração de placas, o Detran utiliza-se de todas as letras do alfabeto (incluindo K, Y e W) o que totaliza 26 letras. Suponha, ainda, que nenhuma placa tenha quatro dígitos iguais a zero, ou seja, não existe uma placa do tipo BBC 0000. Pode haver repetição de número e letras. Quantos carros poderão ser emplacados supondo-se a utilização de todas as combinações possíveis em São Paulo?

Utilizaremos, inicialmente, o princípio multiplicativo. A seguir representaremos por quadrados os “lugares” onde podemos colocar as letras e números (os 3 primeiros são letras e os demais, números). O valor dentro dos quadrados indica o total de possibilidades para cada posição.

Note que no primeiro quadrado há 3 possibilidades, visto que estão disponíveis apenas as iniciais B, C e D. Em azul temos os números. São dez possibilidades, pois podemos usar qualquer um dos algarismos de 0 a 9.

Pelo princípio multiplicativo teremos: 3.26.26.10.10.10.10 = 20280000 possibilidades.

Porém, devemos lembrar que não existem placas do tipo # # # 0 0 0 0. Assim, calcularemos o número de placas que levam 4 “zeros”:

Exemplo 12: senhas bancárias

Atualmente é cada vez mais comum o uso de serviços bancários via Internet. Porém, também é cada vez maior o número de hackers que tentam invadir sistemas bancários para desviar dinheiro. Assim, a preocupação com a segurança também aumenta. Além de campanhas preventivas do tipo “jamais divulgue sua senha a um estranho”, “o banco não solicita sua senha por e-mail”, “troque sua senha periodicamente”, alguns bancos tem feitos caríssimos investimentos para melhorar a segurança dos internautas. Uma delas é o aumento do número de dígitos que compõe a “senha eletrônica” quando comparada a “senha do cartão”. 

Muitos bancos utilizam para a senha do cartão 4 dígitos numéricos, o que nos daria um total de aproximadamente 10.10.10.10 = 10 000 senhas diferentes. Digo “aproximadamente” pelo fato que muitos bancos não aceitam senhas sequenciais como 2222 ou que contenha data de aniversário ou repetições óbvias do tipo 1212.

Já na Internet, temos bancos que utilizam 8 dígitos numéricos para compor a senha. Neste caso temos 108 = 100 000 000 de combinações diferentes aproximadamente (novamente, devido aos motivos citados). Neste caso, é claro que a segurança é maior, pois são 99 990 000 números a mais. Porém, mais recentemente, outros bancos passaram a se utilizar de 8 caracteres, o que permite incluir letras e números. Considerando, ainda, que o sistema faz uma distinção entre letras maiúsculas e minúsculas teremos um total de, nada mais, nada menos, que

628 = 218 340 105 584 896  218 trilhões de senhas diferentes.

Assim, seria muita, mas muita sorte mesmo, alguém “adivinhar” sua senha ou alguém acessar uma conta bancária de outra pessoa “por engano”.

Como chegamos ao número acima?

Inicialmente pense que você tem 8 quadrados para alojar dentro deles números ou letras (maiúsculas e/ou minúsculas). Dessa forma, teremos, para cada dígito 10 número (de 0 à 9), 26 letras maiúsculas (de A à Z) e outras 26 minúsculas. Como 10+26+26 = 62 então:

Exemplo 13: gincana

Numa gincana de televisão, o apresentador possui 5 cartelas contendo uma sílaba de uma palavra. O jogador deve adivinhar que palavra é essa conhecendo-se algumas de suas sílabas.

Neste caso, é claro, muitas das possibilidades não serão consideradas pelo jogador devido às regras da gramática portuguesa. Então, o jogador não necessitaria saber todas as combinações possíveis para adivinhar qual a palavra que contém as sílabas:

Neste caso a palavra é ARTESANATO. Fácil, não?

Porém, suponhamos que a palavra apresentada seja desconhecida ou, pelo menos, pouco comum. Por exemplo:

Exemplo 14: corrida 

Numa corrida de automóveis, largam 15 carros. Porém, apenas os seis primeiros serão premiados. Diversas pessoas fizeram apostas e ganha aquela que conseguir acertar as 6 primeiras colocações exatamente na ordem de chegada (ou seja, não basta dizer apenas quais foram os seis primeiros, mas é preciso acertar quem foi o primeiro, o segundo e assim por diante).

Neste caso, podemos verificar quantos jogos seriam possíveis fazer, ou melhor, quantos resultados diferentes a corrida poderia ter. Deve estar claro que a ordem de chegada é importante. Como apenas os 6 primeiros são premiados, estamos trabalhando com um caso de arranjo. Assim, temos que escolher 6 pilotos de um total de 15:

Exemplo 16

Os números de telefones fixos de São Paulo (DDD 11) têm 8 algarismos. Determine o número máximo de telefones que podem ser instalados, supondo-se que os números não podem começar com zero nem com um (mas podem começar – por suposição – com qualquer número de 2 a 9).

Vamos utilizar o PFC, visto que os algarismos podem ser repetidos. Note que para o primeiro algarismo só há 8 possibilidades (2, 3, ..., 9). Os demais algarismos podem ser valores de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades:

Exemplo 18

Resolver a equação Ax, 2 = 12.

Utilizando a fórmula de arranjo e os conhecimentos de fatoriais temos:

Exemplo 19

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?

Trabalhando com o PFC, temos as possibilidades:

Exemplo 20

Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?

Este exemplo é muito similar ao anterior. Porém, aqui, temos que ter cautela com o zero, visto que um número nunca deve ser iniciado com zero. Porém, temos uma segunda restrição, que é o fato de o número ser par e, neste caso, ele deve terminar com 0, 2, 4 ou 6. Percebemos que o zero faz parte de duas restrições (primeiro e último algarismos). Assim, vamos considerar duas situações:

I. o número termina com zero: neste caso, o último algarismo está fixado (zero). Logo, temos 6 possibilidades para o primeiro algarismo (1,2,3,4,5 ou 6). Assim, as possibilidades serão:

Ou seja, teremos 6.5.4.1 = 120 números.

II. o número termina em 2, 4 ou 6 (três possibilidades). O primeiro algarismo não pode ser zero, restando 5 possibilidades. O segundo algarismo pode ser zero, bastando que não seja igual ao primeiro e ao último algarismos definidos. Assim:

O total de número é: 5.5.4.3 = 300.

Logo, o total de número procurado é a soma dos resultados obtidos em I e II, ou seja, 120 + 300 = 420.

Exemplo 21

Resolver a equação Cx, 2 = 15.

Como a condição de existência é x ≥ 2, temos S={6}.

Exemplo 25

Sobre uma circunferência marcam-se 8 pontos. Quantos triângulos podemos construir utilizando esses pontos?

Para resolver este problema, basta observarmos que a sequência com que escolhemos três pontos quaisquer não importa. Ou seja, escolhidos três pontos, independente da ordem que fizemos a escolha, obteremos o mesmo triângulo. Logo, teremos C8,3 = 56 triângulos possíveis.

Exemplo 26

Sobre uma reta r, marcam-se 5 pontos e sobre uma outra reta s, paralela à primeira, marcam-se 3 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?

É uma variação mais elaborada do exemplo anterior. Podemos utilizar dois métodos distintos para a resolução, que chamaremos aqui de método da inclusão e de método da exclusão.

Método da Inclusão

Neste método, iremos considerar apenas os casos de interesse e, ao final, somamos os resultados para obter o total de triângulos.

Note que temos duas possibilidades para a construção dos triângulos: os que possuem a base na reta r e um vértice na reta s (triângulo da esquerda) ou os que possuem a base na reta s e um vértice na reta r (triângulo da direita).

I. para os triângulos de mesmo tipo que o da esquerda, escolhemos 2 dos 5 vértices para a base e um dos 3 que correspondem ao vértice da reta s: C5,2 . C3,1 = 10 . 3 = 30.

II. para os triângulos de mesmo tipo que o da esquerda, escolhemos 2 dos 3 vértices para a base e um dos 5 que correspondem ao vértice da reta r: C3,2 . C5,1 = 3 . 5 = 15.

Como pode ocorrer o caso I ou o caso II teremos um total de 30 + 15 = 45 triângulos.

Método da Exclusão

Inicialmente, consideramos o número total de triângulos que podemos construir a partir de 5+3=8 pontos:

C8,3 = 56 triângulos.

Porém, pelo fato de termos pontos colineares, devemos calcular quantos “falsos triângulos” computamos, ou seja, quantos “triângulos” formamos utilizando 3 pontos colineares:

Exemplo 27

Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra INFINITO?

Ao todo são 8 letras, sendo 3 letras “I” e 2 letras “N”. utilizando a fórmula de permutação com repetição, teremos

Exemplo 28

Determine o número de soluções naturais da equação x+y+z=9.

Como estamos trabalhando com o conjunto dos números naturais, cada uma das incógnitas x, y e z podem assumir valores de 0 à 9. Vamos supor que cada bolinha represente uma unidade e que cada barrinha separe os valores de x, y e z da seguinte forma: a quantidade de bolinhas à esquerda da primeira barra corresponde ao valor de x; entre as duas barras correspondem ao valor de y; à direita da segunda barra correspondem ao valor de z. Exemplos:

Dessa forma, vamos traduzir o esquema como se fosse uma palavra com letras repetidas, em que B representa “bolinha” e T representa o “traço”. As figuras anteriores seria, respectivamente, as “palavras” BBTBBBTBBBB, TBBTBBBBBB e BBBBBBBBBTT. Em resumo, o total de soluções corresponde ao número de anagramas de uma das “palavras” anteriores:

Exemplo 30

De quantas maneiras podemos arrumar lado a lado 5 livros de Geometria, 4 de Estatística e 3 de Cálculo em uma prateleira de modo que livros de um mesmo assunto fiquem sempre juntos?

Inicialmente, vamos supor uma sequência qualquer das matérias. Por exemplo, Geometria, Estatística e Cálculo. Calculamos de quantas formas podemos organizar os livros de cada matéria separadamente.