Exemplos de ensaio de Bernoulli

1) Uma moeda é lançada 5 vezes. Cada lançamento é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: cara ou coroa. Chamemos de sucesso o evento sair uma cara e de fracasso o evento sair uma coroa. Em cada ensaio, p=0,5 e q=0,5.

 2) Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 8 vezes. Cada extração é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca. Chamemos de sucesso o evento sair bola vermelha. Consequentemente, fracasso corresponde ao evento sair bola branca. Neste caso, p = 4/10 e q = 6/10.

2. Distribuição Binomial

Antes de apresentarmos a fórmula e suposições da distribuição Binomial de probabilidades, vamos analisar um exemplo e deduzir a fórmula a partir dele.

Exemplo 1

Uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria avaliada, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade de ele acertar exatamente 6 testes?

A probabilidade de acertar um teste aleatoriamente é 1/5 = 0,2. Logo, a de errar esse teste é de 1 - 1/5 = 4/5 = 0,8.

Vamos considerar uma situação bastante específica: o aluno acerta os testes de 1 à 6 e erra os testes de 7 à 10. A probabilidade de isso acontecer é obtida utilizando–se o Princípio Fundamental da Contagem:

0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 =

= (0,2)⁶ . (0,8)⁴ = 0,000026 ou 0,0026%.

Porém, essa é apenas uma situação de acertos / erros possíveis. O número total de maneiras que esse aluno pode acertar 6 testes de um total de 10 testes é calculada utilizando–se combinação (visto que a ordem dos acertos NÃO importa):

2.2. Cálculo de uma combinação C(n,k) SEM calculadora

Já vimos, no exemplo anterior, que:

No vídeo a seguir, você poderá assistir uma vídeo aula com a explicação do cálculo SEM a utilização de uma calculadora.

2.3. Cálculo de uma combinação C(n,k) USANDO uma calculadora científica

A grande maioria das calculadoras científicas já possuem uma função que permite o cálculo do valor de uma combinação (ou número binomial).

No vídeo a seguir, você poderá assistir uma vídeo aula com a explicação do cálculo utilizando uma calculadora científica simples da Casio.

Exemplo 2

Para entender melhor a fórmula, vamos recapitular o cálculo de probabilidades com base em um exemplo. Responda rapidamente a pergunta: um casal deseja ter 4 filhos, 2 homens e 2 mulheres. Supondo que a probabilidade de nascimento de um homem (H) ou uma mulher (M) seja a mesma, qual a probabilidade de tal fato acontecer?

Muitas pessoas respondem 50%. Se você foi uma delas, a pergunta seguinte possivelmente será “por quê? Não é???”.  A resposta é não! O que mostra que muitas vezes a intuição nos engana, enfatizando a importância da probabilidade (veja, por exemplo, o caso de um médico obstetra ou um laboratório que muitas vezes precisa conhecer cálculos de probabilidades como este).

Faremos, inicialmente, um método mais trabalhoso, mas que certamente convencerá o leitor de que tal probabilidade não é 50%. Depois, faremos o cálculo utilizando um modelo probabilístico.

Listemos todas as possibilidades de nascimentos:

HHHH

HHHM

HHMH

HMHH

MHHH

HHMM

HMHM

MHHM

HMMH

MHMH

MMHH

HMMM

MHMM

MMHM

MMMH

MMMM

Das 16 possibilidades listadas, note que em 6 delas ocorrem o nascimento de 2 homens e 2 mulheres. Logo, a probabilidade de isso ocorrer é:

P = 6/16 = 0,375 ou 37,5%

Ou seja, a probabilidade é inferior a 50%, mais precisamente, vale 37,5%, o que contradiz a intuição da maioria das pessoas.

Uma outra forma de resolver esse mesmo problema é utilizando a Binomial.

Agora, para resolvermos essa situação apresentada através da Binomial, vamos determinar que nosso interesse seja o número de homens que nascem. Essa ocorrência será chamada de sucesso. Assim:

X: número de homens que nascem (sucesso)

Logo, nascer mulher indicaria fracasso. Não é nenhum tipo de preconceito, mas sim, uma questão Estatística. Poderíamos, sem problemas, ter trocado homem por mulher e vice-versa.

A probabilidade de sucesso é a probabilidade de em um nascimento qualquer ocorrer um homem, ou seja, p = 1/2 = 0,5.

Temos interesse que, em 4 nascimentos, 2 sejam homens e 2 sejam mulheres. Como chamamos de sucesso nascer homem, temos interesse no nascimento de 2 homens ou, em linguagem matemática, X=2. Logo, o valor de k é 2 (basta comparar a fórmula X=k  com o que acabamos de escrever X=2).

Obtemos, portanto:

Logo, há 6 maneiras de se fazer tal escolha.

Fixemos uma das escolhas, como por exemplo, H nas caixas 1 e 3. Nas caixas 2 e 4 colocaremos cartas com a letra M. A probabilidade de tal fato ocorrer pode ser expressa através do princípio multiplicativo. A probabilidade de ocorrer cada H é de 0,5 (pois sorteamos as letras a partir dos cartões-mestre) e de ocorrer M também é 0,5.

Assim, a probabilidade de sortearmos H na primeira vez, M na segunda, H na terceira e M na quarta é dada por

0,5.0,5.0,5.0,5 = (0,5)⁴ = 0,0625.

Como tal fato (2 H e 2 M) pode ocorrer de 6 maneiras diferentes temos que a probabilidade final fica

P = 6 . 0,0625 = 0,375.

Note que 0,5 = 1 – 0,5 = 1 – p. O raciocínio aqui desenvolvido é o mesmo que se faz para deduzir a fórmula da Distribuição Binomial.

Exemplo 5

Admite–se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisando–se 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem funcionando após 600 horas?

Seja X: número de válvulas que permanecem funcionando após 600 horas. Temos que a probabilidade de sucesso é p=0,3. Perceba que estamos realizando 10 Ensaios de Bernoulli (n=10). Logo, queremos calcular:

P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... + P(X=9) + P(X=10).

Note que teríamos que calcular cada uma das probabilidades envolvidas nessa soma utilizando a fórmula apresentada, ou seja, teríamos que aplicar a fórmula 8 vezes para, em seguida, somar todos os resultados. Neste caso, vamos utilizar uma propriedade, já vista, de eventos complementares:

Exemplo 6

Em uma grande pesquisa com 6000 respondentes, determinou–se que 1500 dos entrevistados assistiam determinado programa de TV. Se 20 pessoas são escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que ao menos 19 assistam a esse programa?

Definindo a variável aleatória que indica sucesso:

X: número de pessoas que assistem ao programa.

Perceba que a probabilidade de sucesso (p) pode ser calculada a partir do enunciado:

p = 1500/6000 = 0,25.

Logo, queremos calcular:

P(X≥19) = P(X=19) + P(X=20) =

Exemplo 7

Vamos supor o lançamento de uma moeda honesta (ou seja, P(cara)=P(coroa)=0,5). Suponhamos que você faça uma aposta com um amigo seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) em 7 lançamentos.

A probabilidade de você ganhar ocorre quando saírem 4 ou 5 ou 6 ou 7 caras. Utilizando o modelo Binomial onde:

X: número de caras (sucesso)

n = 7 lançamentos

k = 4,5,6,7

p = 0,5

Obtemos:

P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) =

Exemplo 8

Suponhamos a mesma situação do exemplo anterior, mas agora, você pega, sem seu amigo perceber, uma moeda viciada em que a probabilidade de ocorrer uma cara é de 0,75 ou . Neste caso, p=0,75 e a probabilidade de você ganhar é:

P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) =

4. Variância e Desvio Padrão de uma distribuição Binomial

Nas mesmas suposições da média, temos que a variância pode ser calculada por uma das fórmulas:

     σ² = Var(X) = n.p.q

ou

     σ² = Var(X) = n.p.(1-p)

Para o cálculo do desvio padrão, basta lembrar que o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância:

Exemplo 11

Em uma determinada cidade, 56% dos dias de um ano possuem tempo limpo e ensolarado. No mês de abril, quantos dias espera-se que tenham tempo limpo e ensolarado?

Vamos considerar a variável aleatória X como representando o número de dias com tempo limpo e ensolarado. No mês de março há 30 dias. Então:

n = 30

p = 0,56

Logo:

E(X) = n.p = 30 . 0,56 = 16,8.

Portanto, esperamos que em aproximadamente 17 dias do mês de março haja tempo limpo e ensolarado.

Exemplo 12

Em uma pesquisa realizada verificou-se que três a cada oito pessoas tem dificuldades para pegar no sono. Uma amostra aleatória de 25 pessoas é selecionada. Determine a média e o desvio padrão do número de pessoas que possuem dificuldades para pegar no sono dentro dessa amostra.

Definindo:

X: número de pessoas que tem dificuldade para pegar no sono

Temos do enunciado:

n = 25

p = 3/8 = 0,375

E(X) = n.p = 25 . 0,375 = 9,375

Var(X) = n.p.(1-p) = 25 . 0,375 . (1-0,375) = 5,8594

O desvio padrão será a raiz quadrada da variância e, portanto:

DP(X) = 2,42

Logo, nessa amostra, esperamos encontrar, aproximadamente, 9 pessoas com dificuldades de pegar no sono.

3) Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo que as vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?

4) A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?

5) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara?

6) Um time de futebol tem probabilidade p = 0,6 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma?

7) Uma prova consta de 5 testes com 4 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria da prova, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade desse aluno:

    a) acertar os 5 testes?

    b) acertar apenas 4 testes?

    c) acertar apenas 3 testes?

    d) acertar apenas 2 testes?

    e) acertar apenas 1 teste?

    f) errar todos os testes propostos?

    g) qual o resultado mais provável obtido pelo aluno?

8) Foi realizada uma pesquisa com 500 pessoas para verificar se assistiam determinado programa de televisão. Duzentas pessoas afirmaram assistir. Se, a partir da população, retirarmos 8 indivíduos, qual é a probabilidade de que no máximo 6 assistam o programa?

9) Um aluno tem 70% de chance de acertar cada questão de uma prova. Sabendo–se que essa prova é composta por 10 questões, qual a probabilidade de ele acertar, ao menos, 7 questões para ser aprovado?

10) Em uma UTI, em média 5% dos bebês que nascem prematuros não sobrevivem. Se, atualmente, há 40 bebês prematuros, qual a probabilidade de que no máximo 5% dos bebês não sobrevivam?

11) Em 320 famílias com quatro crianças cada uma, quantas famílias seriam esperadas que tivessem:

a) nenhuma menina?

b) três meninos?

c) quatro meninos?

12) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar cinco partidas, calcule a probabilidade de:

a) X vencer exatamente três partidas;

b) X vencer ao menos uma partida;

c) X vencer mais da metade das partidas.

13) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar seis vezes, qual a probabilidade de:

a) acertar exatamente dois tiros?

b) não acertar o alvo?

c) acertar o alvo?

d) acertar ao menos 1 tiro no alvo?

14) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:

a) nenhuma defeituosa;

b) três defeituosas;

c) mais do que uma boa.

15) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que a face “2” apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos?

Respostas dos Exercícios

1) 0,2344           

2) 0,03215           

3) 0,0459

4) 0,2592           

5) 0,98439          

6) 0,9898

7) a) 1/1024    b) 15/1024     c) 90/1024    d) 270/1024   e) 405/1024     f) 243/1024

    g) O resultado mais provável é que o  aluno acerte apenas 1 teste.

8) 0,9915

9) 0,6496

10) 0,6767

11) a) 20   b) 80   c) 20

12) a) 80/243    b) 242/243    c) 64/81

13) a) 0,3292   b) 0,0878   c) 0,9122   d) 0,9122

14)