1. Média

A média caracteriza o centro da distribuição de frequências, sendo, por isso uma medida de posição. Podemos definir vários tipos de médias de um conjunto de dados, temos a média aritmética, a média geométrica, a média harmônica, etc.

 Aqui, trabalharemos exclusivamente com a média aritmética (simples ou ponderada).

É comum distinguirmos, em termos de notação, a média amostral e a média populacional, embora o cálculo de ambas seja o mesmo e apresente, portanto, o mesmo resultado. As notações para a média populacional e média amostral são:

Há três formas para calcular a média. Isso depende de como está o nosso conjunto de dados: não agrupados, agrupados sem classes ou agrupados com classes.

Importante

Nunca devemos arredondar o valor da média, mesmo que esse número não faça, aparentemente, sentido. Por exemplo: se calculamos que o número médio de filhos é 1,8, não devemos arredondar para 2. Embora não faça sentido falarmos em 1,8 filhos por família, pense em 18 filhos (em média) a cada 10 famílias, ou, ainda, 180 filhos, em média, a cada 100 famílias. Agora, o número médio passa a ter um sentido “prático”.

Média - Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe

Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta faremos a média aritmética ponderada considerando as frequências simples de fi como sendo as ponderações dos elementos xi correspondentes:

Assim a fórmula para o cálculo da média é:

Exemplo

Considerando a distribuição:

Média - Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe

Quando os dados estão agrupados com intervalos de classes, ou seja, quando se trata de uma variável contínua, se aceita, por convenção, que as frequências se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o ponto médio da classe é o valor representativo do conjunto. Neste caso a média será calculada fazendo a média aritmética ponderada considerando as frequências simples de fi como sendo as ponderações dos elementos correspondentes, onde x i  é o ponto médio do intervalo. Assim, a fórmula para o cálculo da média é a mesma que a do caso II:

Exemplo

Considere a distribuição:

2. Moda (Mo)

A moda de uma série de valores é o valor de maior frequência absoluta, ou seja, o valor que aparece o maior número de vezes na distribuição. Fique atento: moda é um valor, ou seja, x i . Moda NÃO é a frequência (f i )!

Assim como no caso da média, vamos considerar três casos para obtermos a moda.

Moda - Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe

Neste caso, a classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. No caso de distribuição de frequências em classes de mesma amplitude, a moda corresponde a um ponto pertencente à classe modal dado pela fórmula de Czuber:

com

D 1  = f Mo  – f ant

D 2  = f Mo  – f post

em que:

LMo  =  limite inferior da classe modal

fMo = frequência absoluta da classe modal

fant = frequência absoluta da classe imediatamente anterior à classe modal

fpost = frequência absoluta da classe imediatamente posterior à classe modal

h = amplitude da classe modal

Exemplo

Considere a distribuição:

Inicialmente, devemos localizar a CLASSE MODAL, ou seja, a classe que conterá a moda. Ela corresponde ao intervalo que possui maior frequência. No caso: 200 |― 220. Feito isso, basta aplicarmos a fórmula de Czuber:

LMo  =  200

fMo = 18

fant = 4

fpost = 10

h = 220-200 = 20

Logo:

D1 = 18 – 4 = 14

D2 = 18 – 10 = 8

A moda será:

3. Mediana (Md)

A mediana de um conjunto de valores, colocados em rol, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos (elemento que ocupa a posição central).  Em outras palavras, tendo-se um conjunto de dados ordenados de maneira crescente (ROL), a mediana é o valor que separa os 50% dos menores dados dos 50% maiores.

Ou seja, a mediana ocupa a 3ª posição que corresponde ao valor Md=4.

Logo, a mediana ocupa a 5ª posição que corresponde ao valor Md=40.

Novamente, vamos ressaltar: a 3ª posição é ocupada pelo valor 1; a 4ª posição é ocupada pelo valor 2. A mediana é, portanto, a média aritmética desses valores, ou seja, é o valor 1,5.

Exemplo 4: CASO PAR

Sejam as idades de 8 pessoas: 21, 24, 28, 31, 34, 35, 38, 38

A mediana corresponde a média aritmética dos dois valores centrais, que são 31 e 34. Assim:

Note que o valor 31 anos está na 4ª posição e o valor 34 anos ocupa a 5ª posição. Vamos obter essas posições utilizando a mesma fórmula do exemplo anterior:

Logo, a mediana corresponderá à média dos valores que ocupam as posições (centrais) calculadas.

Exemplo 2: n PAR

Considere a distribuição:

Calculando a posição da mediana, utilizando a regra de n PAR:

14 / 2 = 7ª posição e a seguinte, ou seja, 8ª posição.

Ou seja, os valores centrais da distribuição ocupam a 7ª e 8ª posições.

Na tabela, vemos que a 7ª posição é ocupada pelo valor (idade) 21 anos, enquanto que a 8ª posição é ocupada pelo valor 22 anos. A mediana da distribuição será:

Md = (21 + 22) / 2 = 21,5 anos.

Mais uma vez, perceba que a mediana é um valor. As posições são calculadas apenas para que cheguemos a esse valor, que no caso é Md=21,5.

Mediana - Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe

Quando estamos trabalhando com variáveis contínuas, ou seja, quando os dados estão agrupados em classes, determinamos a classe na qual se encontra a mediana, que chamaremos de classe mediana. Neste caso, não nos preocuparemos se estamos trabalhando com uma quantidade de dados par ou ímpar, visto que apenas precisamos determinar a classe que contém a mediana. Em seguida, calculamos o valor da mediana através da fórmula:

em que:

LMd é o limite inferior da classe mediana;

Fant é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;

h é a amplitude do intervalo da classe mediana;

fMd é a frequência simples (ou absoluta) da classe mediana.

Vamos verificar qual a classe que contém a mediana. Para isto, vamos calcular a posição ocupada pela mediana:

40 / 2 = 20ª posição.

Note que essa posição corresponde à classe 200 |― 220. Esta é a classe mediana. Utilizando a fórmula apresentada:

LMd = 200

Fant = 4

h= 220 – 200 = 20

fMd = 18

Exemplo 2

Considerando a distribuição:

Moda: é o valor com maior frequência. Na tabela, vemos que a maior frequência é 8 e corresponde à nota 8,5. Logo, Mo = 8,5.

Mediana: inicialmente, calculamos a posição da mediana usando a regra do n ÍMPAR:

25/2 + 0,5 = 12,5 + 0,5 = 13ª posição. Utilizando a coluna da frequência acumulada, percebemos que o valor que ocupa a 13ª posição é a nota 8,5. Assim, Md = 8,5.

Resumindo: a nota média obtida na prova feita pelos 25 alunos é 7,7, sendo que a nota 8,5 ocorreu com a maior frequência (moda) e 8,5 é a nota que separa as 50% menores notas obtidas das 50% maiores (mediana).

Exemplo 2

A tabela abaixo indica o aluguel de um grupo de casas.

Média: para o cálculo da média, construímos, na tabela, a coluna do ponto médio, que corresponderá ao nosso xi. Aplicando a fórmula:

Moda: observando as frequências absolutas, percebemos que a segunda classe é aquela que possui a maior frequência, ou seja, a classe modal é 200 |―  400.

Calculamos as diferenças:

D1 = fMo – fant = 52 – 30 = 22

D2 = fMo – fpost = 52 – 28 = 24

Aplicando a fórmula de Czuber:

Mediana: inicialmente, calculamos a posição da mediana para, em seguida, determinar a classe mediana.

120 / 2 = 60ª posição

Esta posição está na segunda classe, ou seja, na classe 200 |―  400 (classe mediana).

Logo:

LMd = 200

Fant = 30

h= 400 – 200 = 200

fMd = 52

Aplicando a fórmula:

Resumindo: o aluguel médio das casas pesquisadas é R$ 335,00, sendo que o valor que mais ocorre é R$ 295,70 e o valor mediano encontrado foi R$ 315,40, ou seja, metade dos alugueis cobrados tem valor superior ao mediano e a outra metade possui valor inferior a R$ 315,40.

5) A tabela seguinte fornece o número de erros gráficos por página de certo livro.

Calcular:

    a) o número médio de erros por página

    b) o número mediano

    c) qual é a moda da distribuição?

6) Numa pesquisa entre 250 famílias de certa cidade constataram-se os seguintes dados:

Para a distribuição do número de filhos, calcular a média, a mediana e a moda.

7) Se os dados do problema anterior estivessem computados como segue:

Qual das medidas (média, moda e mediana) não seria possível calcular?  

8) Os dados seguintes referem-se ao tempo de vida (durabilidade) de 150 lâmpadas elétricas de certa fabricação, em centenas de horas.

a) Qual é a moda?

b) Calcular a vida média das lâmpadas.

c) Qual é a mediana?

9) A média dos salários dos funcionários de uma determinada empresa é 5 salários mínimos (5 SM), enquanto que a mediana é 4 SM. Sorteando-se ao acaso um dos funcionários, o que é mais provável: que ele ganhe mais ou que ele ganhe menos do que a média dos salários?

10) Uma prova foi aplicada a três classes, de 40, 48 e 46 alunos, e as médias de cada classe foram 6,0, 6,6 e 5,8, respectivamente. Qual é a média para os 134 alunos que fizeram a prova?

11) O valor com maior frequência em uma distribuição é:

    a) a média                    b) a mediana                    c) a moda                    d) as três

12) Considere a seguinte distribuição referente a quantidade de acidentes semanais em determinado cruzamento de certa cidade:

Qual das medidas (média, moda e mediana) não seria possível calcular?

13) Considere uma série estatística com 2351 elementos. A posição da mediana é representada pelo:

    a) 1175º elemento

    b) 1176º elemento

    c) ponto médio entre o 1175º e o 1176º elemento

    d) 1174º elemento

    e) ponto médio entre o 1174º e o 1175º elemento

14) Um professor, após verificar que toda a classe obteve nota baixa, eliminou as questões que não foram respondidas pelos alunos. Com isso, as notas de todos os alunos foram aumentadas de 3 pontos. Então:

    a) a média aritmética ficou alterada, assim como a mediana.

    b) apenas a média aritmética ficou alterada.

    c) apenas a mediana ficou alterada.

    d) não houve alteração nem na média nem na mediana.

    e) nada podemos afirmar sem conhecer o número total de alunos.

15) Calcule o número médio, mediano e modal de acidentes por dia em uma determinada esquina.

16) O gráfico a seguir mostra a distribuição de frequências das notas obtidas pelos alunos, da 2ª série do ensino médio, numa prova de Geografia. Determine:

a) a mediana dessa distribuição;

b) a moda dessa distribuição

c) a média das notas.

17) As notas de um candidato em seis provas de um concurso foram:

8,4  ;  9,1  ;  7,2  ;  6,8  ;  8,7  ;  7,2

Determine:

a) a nota média;

b) a nota mediana;

c) a nota modal.

18) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:

R$ 75 ; R$ 90 ; R$ 83 ; R$ 142 ; R$ 88

a) qual o salário médio?

b) qual o salário mediano?

19) Considere as notas obtidas pelos alunos de uma classe em uma determinada prova:

Calcule:

a) a nota média;

b) a nota mediana;

c) a nota modal.

20) A partir de uma amostra de 70 pessoas obteve-se a tabela a seguir com as estaturas dos entrevistados:

Determine, para essa distribuição:

a) a média;

b) a mediana;

c) a moda.

21) Os pesos de 40 pessoas que estavam fazendo um tratamento de emagrecimento numa determinada clínica de São Paulo foram agrupados na tabela a seguir:

Determine, para essa distribuição:

a) a média;

b) a mediana;

c) a moda.

22) Considerando a distribuição abaixo, determine:

a) a média;

b) a mediana;

c) a moda.

Com os dados disponíveis, calcule a média, a moda e a mediana desses salários.

24) Obtenha a mediana nos casos a seguir:

a) 12, 15, 10, 13, 11, 19

b) 7, 7, 5, 4, 3, 5, 5, 2, 3

c)

d)

e)

25) Considere a tabela a seguir:

Qual das medidas (média, moda e mediana) não seria possível calcular?

26) Considere uma série estatística com 4226 elementos. A mediana é representada pelo:

    a) 2112º elemento

    b) 2113º elemento

    c) 2114º elemento

    d) ponto médio entre o 2112º e o 2113º elementos

    e) ponto médio entre o 2113º e o 2114º elementos

27) Em uma prova de vestibular, a banca examinadora verificou que uma questão estava mal formulada e, por isso, decidiu anular tal questão atribuindo 1 ponto a todos os candidatos. Após o acréscimo desse ponto, recalculou-se a nota média, mediana e modal obtida pelos candidatos. Pode-se dizer que:

a) Apenas a média e a moda sofreram alteração em seus valores.

b) Apenas a mediana e a moda sofreram alteração em seus valores.

c) Apenas a média e mediana sofreram alteração em seus valores.

d) A média, a moda e a mediana sofreram alteração com o acréscimo de exatamente 1 ponto.

e) A média, a moda e a mediana sofreram alteração, mas não é possível dizer em quantos pontos cada uma delas foi alterada.

28) Considere a tabela a seguir:

em que X < 4 e Y ≤ 5 com X,Y,Z números naturais diferentes de zero. Considere as seguintes afirmações:

I. X + Y = Z.

II. 0 < média < 3.

III. O valor modal é 20.

IV. A mediana é igual a 2.

Estão corretas as afirmações:

a) apenas II e III.

b) apenas II e IV.

c) apenas II, III e IV.

d) apenas III.

e) apenas II.

Com relação à tabela:

a) Calcule o salário médio.

b) Determine o desvio padrão dos salários.

c) Determine o salário modal.

d) Construa o histograma da distribuição.

A tabela nos mostra que, por exemplo, 14 alunos faltaram em 2 aulas daquele mês.

a) Qual a quantidade de faltas média desses alunos?

b) Qual o valor mediano das faltas?

Respostas dos Exercícios

1) a) média=46,1   Mo = 44   Md = 46

b) média =2,6   Mo = 1 e 3   Md = 2,5

2) média =13,9   Mo = 16   Md = 16

3)a) média =75,3   Mo = 75   Md = 74,5        

b) média =5,02 Mo=5   Md = 4,92

4) a) [750; 850[

b) 812,5

c) [750; 850[

d) 768,8

e)

f) 754,7

5) a) 0,425      b) 0        c) 0

6) média=2,18    Mo = 3   Md = 2

7) média não é possível calcular; Mo = 3; Md = 2.

8) a) 12,27      b) 14,53        c) 13,85

9) menos

10) 6,15

11) c

12) média e moda não conseguimos calcular; Md = 4.

13) b

14) a

15) média = 0,45 ; moda = 0; mediana = 0

16) a) 7       b) 7       c) 6,6

17) a) 7,9   b) 7,8   c) 7,2

18) a) R$ 95,6   b) R$ 88

19) a) 5,92    b) 6    c) 6

20) a) 172,4   b) 174   c) 176,6  

21) a) 159,4   b) 157,8   c) 150,5  

22) a) 5,4    b) 5    c) 5

23) =708,33    Mo = 291,67   Md = 428,57

24) a) 12,5

b) 5

c) 12 anos

d) 14 anos

e) R$ 1229,17

25) média, moda e mediana

26) e

27) d

28) b

29) a) R$ 2120,00

b) R$ 893,05

c) R$ 1625,00

d)

30) a) 1,60 faltas

b) 1,5 faltas