1. Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson (fala–se: “Poassom”) é uma distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória X que satisfaz às seguintes condições:

1) O experimento consiste em calcular o número de vezes, k, que um evento ocorre em um dado intervalo. O intervalo pode ser de tempo, área, volume, etc.

2) A probabilidade de o evento acontecer é a mesma para cada intervalo.

3) O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo.

A distribuição de Poisson possui um parâmetro λ (leia–se: “lâmbda”) que chamamos de taxa de ocorrência, que corresponde à frequência média ou esperada de ocorrências em um determinado intervalo. Além disso, sempre temos que λ>0.

A probabilidade de Poisson é calculada através da seguinte fórmula:

onde:

k=0,1,2,3,...

e é o número irracional que vale aproximadamente 2,71828;

λ é a taxa de ocorrência (que é igual à média da distribuição).

2. Esperança e Variância da distribuição de Poisson

Sendo X uma variável que segue o modelo Poisson com parâmetro λ, temos que:

Média ou esperança

     E(X) = λ

Variância

     Var(X) = λ 

Desvio padrão

3. Exemplos resolvidos

Exemplo 1

A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o número de partículas alfa, emitidas por minuto, seja uma variável aleatória seguindo o modelo Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média de ocorrências é de 5 emissões a cada minuto. Calcular a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto.

Resolução

Pelo enunciado, temos que

X: número de emissões em um minuto;

λ = 5 emissões/minuto

Neste caso, queremos calcular P(X > 2), que é uma soma infinita de valores, pois podemos ter X=3,4,5,6,7,8,... Assim, devemos, obrigatoriamente, trabalhar com o complementar:

P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ] =

Logo, há uma probabilidade de 87,5% de haver mais que 2 emissões ao longo de um minuto.

Perceba que o cálculo ficou bastante simplificado quando colocamos o termo e⁻⁶ em evidência (fator comum).

c) Vamos utilizar o resultado do item anterior na resolução:

P(X ≥ 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - 0,0620 = 0,9380.

Note que P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) que é exatamente igual a P(X≤2).

Ou seja, há uma probabilidade de 6,71% de passarem 5 carros ou menos ao longo de 10 segundos.

Exemplo 5

Experiências passadas indicam que o número de ligações recebidas, no período noturno, em uma central telefônica segue uma distribuição de Poisson. As probabilidades de receber um certo número de chamadas por hora estão apresentadas na tabela a seguir:

Calcule a probabilidade de que essa central receba 3 ou mais chamadas ao longo de uma hora.

Resolução

Cuidado! Perceba que queremos calcular P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... que é uma soma infinita. Muitas vezes, essa tabela nos leva a um erro na hora do cálculo caso você não se lembre que a Poisson é válida para infinitos valores, no caso, do número de chamadas. Devemos, portanto, trabalhar com o complementar:

P(X≥3) = 1–P(X<3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] =

= 1 – [0,0111 + 0,0500 + 0,1125] = 0,8264 ou 82,64%.

6) Na pintura de paredes, aparecem defeitos em média na proporção de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2m?

7) Suponha que haja em média dois suicídios por ano numa população de 50000 habitantes distribuídos segundo uma Poisson. Em certa cidade com 100 000 habitantes, qual a probabilidade de que o número de suicídios em determinado ano seja:

a) igual a 0?

b) igual a 1?

c) igual a 2?

d) igual a 2 ou mais?

8) Suponha que ocorram 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:

a) nenhum erro;

b) exatamente dois erros.

9) Certa loja recebe, em média, 5 clientes por hora, segundo o modelo Poisson. Qual a probabilidade de:

a) receber dois clientes em 24 minutos?

b) receber pelo menos três clientes em 18 minutos?

10) A média de chamadas telefônicas em uma hora é três, segundo o modelo Poisson. Qual a probabilidade de receber:

a) três chamadas em 20 minutos?

b) no máximo duas chamadas em meia hora?

11) Em uma estrada passam, em média, 1,7 carros por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos? Admita válido o modelo Poisson.

12) Uma fábrica produz tecidos com 2,2 defeitos, em média, por peça, segundo o modelo Poisson. Determine a probabilidade de haver ao menos dois defeitos em duas peças.