1. Introdução

Conforme dissemos anteriormente, as medidas de tendência central não são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica. Se observarmos as sequências:

X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.

Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.

Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.

concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são sequências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados.

Na sequência Z não há variabilidade de dados, visto que todos os valores coincidem com a média. Na sequência Y, a média 13 representa bem a série, mas existem elementos da série levemente diferenciados da média 13, ou seja, há baixa variabilidade. Na sequência X existem muitos elementos bastante diferenciados da média 13, indicando uma alta variabilidade ao redor da média.

Para avaliar o grau de variabilidade dos dados em torno da média, usaremos as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.

2. Desvio Médio

O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância. A dispersão dos dados em relação à média de uma sequência pode ser avaliada através dos desvios de cada elemento da sequência em relação à média da sequência. O desvio médio é definido como sendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da série para a média da série, ou seja,

3. Variância e Desvio padrão (s ou σ)

Pelo exemplo anterior, observamos que a dificuldade em se operar o DM se deve à presença do módulo, para que as diferenças x i  – média possam ser interpretadas como distâncias. Outra forma de se conseguir que as diferenças xi – se tornem sempre positivas ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças, isto é, (xi – média)² . Se substituirmos, na fórmula do DM a expressão por (xi – média)² , obteremos nova medida de dispersão chamada variância.

A variância populacional é representada por σ² (sigma ao quadrado), enquanto que a variância amostral é representada por s². O símbolo σ  é a letra grega minúscula sigma. 

A fórmula da variância populacional é:

A fórmula da variância amostral é:

O desvio padrão é definido como sendo a raiz quadrada da variância.

Dessa forma, a fórmula do desvio padrão populacional é:

E a fórmula do desvio padrão amostral é:

4. Unidades de medida do Desvio padrão e da Variância

É natural a pergunta: qual das duas medidas é melhor? Na verdade, não há uma melhor que a outra, visto que são idênticas (basta extrair a raiz de uma ou elevar a outra ao quadrado). Porém, o desvio-padrão é muito melhor no sentido de facilitar a interpretação. Por exemplo, se calcularmos a variância de uma variável X que representa a idade em um conjunto de dados obtendo Var(X) = 25 anos^2, teríamos dificuldades de interpretar o resultado. Afinal, qual o significado de anos ao quadrado? Porém, o desvio-padrão nos daria DP(X) = 5 anos, que possui uma interpretação concreta.

Isso ocorre porque no cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a diferença (xi–média), a unidade de medida da série fica também elevada ao quadrado. Portanto, a variância é dada sempre no quadrado da unidade de medida da série. Se os dados são expressos em metros, a variância é expressa em metros quadrados. Em algumas situações, a unidade de medida da variância nem faz sentido. É o caso, por exemplo, em que os dados são expressos em litros. A variância será expressa em litros quadrados.

Portanto, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou seja: variância não tem interpretação.

Exatamente para suprir esta deficiência da variância é que se utiliza o desvio padrão. Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, o desvio padrão terá sempre a mesma unidade de medida da série e, portanto admite interpretação.

5. Exemplos resolvidos

Vejamos alguns exemplos de como calcular a variância e o desvio padrão em um conjunto de dados.

Exemplo 1

Considere as notas 2 – 8 – 5 – 6 obtidas por 4 alunos, numa avaliação de Biologia, distribuídas na tabela abaixo. Calcule o desvio padrão considerando-se uma população.

Cálculo da média:

Cálculo da variância populacional:

O desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância:

Cálculo da variância populacional:

O desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância:

Cálculo da variância amostral:

O desvio padrão amostral corresponde à raiz quadrada da variância amostral:

Esses percentuais 68%, 95% e 99% citados na interpretação serão comprovadas, com maior precisão, no estudo da distribuição normal de probabilidades. Quando a distribuição não é perfeitamente simétrica estes percentuais apresentam pequenas variações para mais ou para menos, dependendo do caso.

Se um conjunto tiver média µ = 100 e desvio padrão σ = 5, podemos interpretar estes valores da seguinte forma:

    a) Os valores da série estão concentrados em torno de 100.

    b) O intervalo [95, 105] contém aproximadamente, 68% dos valores da série.

    c) O intervalo [90, 110] contém aproximadamente, 95% dos valores da série.

    d) O intervalo [85, 115] contém aproximadamente, 99% dos valores da série.

É importante perceber que, ao aumentar o tamanho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido no intervalo.

Exemplo

Foi observado que as contas de luz para uma área municipal, no mês de junho, são normalmente distribuídas. Se a média das contas for $ 42,00 e o desvio padrão populacional foi $ 12,00, entre que intervalo de valores estão 68% das contas? E 95% das contas?

µ – σ = 42,00 – 12,00 = 30,00

µ + σ = 42,00 + 12,00 = 54,00

Logo, 68% das contas estão entre os valores de $ 30,00 e $ 54,00.

µ – 2 σ = 42,00 – 2 . 12,00 = 42,00 – 24,00 = 18,00

µ + 2 σ = 42,00 + 2 . 12,00 = 42,00 + 24,00 = 66,00

Portanto, 95% das contas estão entre os valores de $ 18,00 e $ 66,00.

2) Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão?

3) Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, obtivemos média igual a 162,2 cm e s = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?

4) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo?

21) Dados: CV=7,3% e média amostral =25, calcule o desvio padrão amostral.

26) Veja o trecho a seguir extraído de um livro de Estatística:

27) Três grupos distintos de estudantes (identificados por I, II e III) realizaram uma mesma prova da disciplina Probabilidade Avançada. As provas foram corrigidas seguindo um mesmo critério e as notas poderiam variar de 0 a 10. As principais estatísticas obtidas para as provas desses três grupos estão apresentadas na tabela a seguir:

Qual dos três grupos apresentou desempenho mais homogêneo nessa prova? Justifique a sua resposta com cálculos e/ou com palavras.

Respostas dos exercícios

1) σ=4,45

2) CV(Mat)=0,103 ; CV (Estat)=0,104. Logo a maior dispersão foi na Estatística.

3) CV (altura)=0,0493 ; CV(peso)=0,0442. Maior variabilidade na altura.

4) CV(85) = 0,03717   CV(125) = 0,03712   grupo de 125 pessoas é mais homogêneo. Porém, como a diferença nos coeficientes de variação ocorre apenas na quinta casa decimal, dizemos, na prática, que os dois grupos possuem mesma homogeneidade.

5) 5,4054

6)  51,72

7) média=20,8 ; variância=0,9556 ; s=0,9775

8) média =24  ;  variância =129,6482  ; s=11,39

9) média =1,475  ;  variância =0,7725  ; s=0,88

10) a) 50%   b) 1733,3 h   c)  298,3 h

11) média =48,5 ; s=1,40

12) a) [150 ; 950]    b) [0 ; 1150]

13) B

14) C

15) A

16) a) σ=3,99    b) σ=5,81

17) a) s=2,59    b) s=5,59

18) Aprovados: A, E, F ; Reprovados: B, C, D

19) a) s=1,25    b) 0,88 ou 88%    c) 1,0704

20) a) 21,5    b) 55,5263    c) 7,45    d) 34,7%    e) 6,5

21) 1,825

22) 300

23) Rejeitados: C, D, G.

24) a) 16 s

b) 17,5 s

c) 18,42 s

d) 5,9097 s²

e) 2,43 s

f) 0,138 ou 13,8%

25) B

26) 95%

27) Grupo I, pois tem o menor coeficiente de variação.