1. Gráfico de linhas ou em curva

O gráfico em linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas.                         

Exemplo

Tabela: Distribuição Mensal dos Acidentes de Trânsito com Vítimas

Dia da semana	Janeiro	Fevereiro	Março
Domingo	1584	1872	2309
Segunda	1356	1567	1970
Terça	1383	1518	1886
Quarta	1418	1620	2064
Quinta	1539	1753	2098
Sexta	1840	2054	2487
Sábado	1777	1968	2347
Total	10897	12352	15161

O gráfico de curva para o mês de janeiro, possibilita uma visão dos dias de maior incidência de acidentes.

3. Gráfico de barras

Os gráficos de barras são, geralmente, utilizados para representar variáveis qualitativas. O gráfico consiste em construir retângulos horizontais em que colocamos os valores das variáveis no eixo das ordenadas (eixo vertical ou eixo y) e as frequências observadas no eixo das abscissas (eixo horizontal ou eixo x). Todas as barras possuem altura de mesma largura e geralmente há um espaço vazio entre cada uma das barras.

Podemos construir um gráfico de barras para comparar os totais obtidos. Os gráficos a seguir, representam algumas possibilidades de gráficos que podemos construir a partir de um mesmo conjunto de dados.

Exemplo

Para os exemplos a seguir, considere novamente a tabela apresentada no tópico anterior (gráfico de colunas).

4. Gráfico de setores (torta ou pizza)

O gráfico de composição em setores, destina-se a representar a composição, usualmente em porcentagem, de partes de um todo. Consiste num círculo de raio arbitrário, representando o todo, dividido em setores, que correspondem às partes de maneira proporcional.

Exemplo

Suponha que um determinado município do interior de SP tenha coletado, ao longo do mês de julho de 2012, o número de acidentes segundo o tipo, conforme mostrado na tabela a seguir:

Tabela: acidentes segundo as categorias

Categoria	Nº de acidentes
Colisão / Abalroamento	204
Tombamento / Capotagem	14
Atropelamento	62
Choque com objeto fixo	30
Outra	0
Não informada	26
Total	336

Considerando a tabela, o gráfico de setores, dos acidentes segundo o tipo, ressalta as diferenças entre as percentagens dos tipos de acidentes.

Perceba que no gráfico anterior, caso o gráfico seja impresso em preto e branco, a identificação de cores fica prejudicada. Duas soluções possíveis, para este caso, são a utilização da legenda diretamente nos setores do gráfico ou a utilização de texturas, conforme vemos a seguir.

5. Gráfico de Dispersão

Em um gráfico de dispersão, os pares ordenados dos valores observados são representados como pontos em um plano coordenado. Um gráfico de dispersão é usado para mostrar a relação entre duas variáveis quantitativas.

Exemplo

“O estatístico britânico Ronald Fisher apresentou um famoso conjunto de dados chamado de conjunto de dados de íris de Fisher. Esse conjunto de dados descreve várias características físicas tais como o comprimento de pétalas e a sua largura (em milímetros), para três espécies de íris (flor). No gráfico de dispersão mostrado, os comprimentos de pétalas formam o primeiro conjunto de dados e as larguras formam o segundo conjunto de dados.”

6. Diagrama ramo e folhas

Em um diagrama de ramo-e-folhas, cada número é separado em um ramo (por exemplo, as entradas dos dígitos na extremidade esquerda) e uma folha (por exemplo, o dígito mais à direita). Você deve ter tantas folhas quanto entradas no conjunto de dados original. Um diagrama de ramo-e-folhas tem a vantagem de que o gráfico contém os valores originais dos dados. Outra vantagem de um diagrama de ramo-e-folhas é que ele fornece uma maneira rápida de se classificar dados.

Exemplo

A seguir, temos os números de mensagens de texto enviadas no mês passado por usuários de telefonia celular em um andar de um dormitório universitário.

155   159   144   129   105   145   126   116   130   114   122   112   112   142   126

118   118   108   122   121   109   140   126   119   113   117   118   109   109   119

139   139   122    78   133   126   123   145   121   134   124   119   132   133   124

129   112   126   148   147

Em razão de as entradas de dados irem de um número baixo (78) para um número alto (159), você deve usar valores de ramo de 7 a 15. Para construir o diagrama, liste esses ramos à esquerda de uma linha vertical. Para cada entrada de dados, liste uma folha à direita de seu ramo. Por exemplo, a entrada 155 tem um ramo de 15 e uma folha de 5. O diagrama ramo-e-folhas será desordenado. Para obter o diagrama ramo-e-folhas, reescreva o diagrama com folhas em ordem crescente da esquerda para a direita. É importante incluir uma chave para o gráfico para identificar os valores dos dados.

7. Pictograma

O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pois sua representação gráfica é feita através de figuras. Os pictogramas tem, dentre as suas principais utilizações: apresentações, seminários, jornais, revistas, TV, internet. Ou seja, o maior objetivo de um pictograma é chamar a atenção e prender a atenção dos leitores, ouvintes ou telespectadores.

Exemplo

8. Histograma

Quando se trata da representação gráfica de distribuição de frequências com dados agrupados utilizamos um gráfico denominado histograma de frequências absolutas.

Histograma é um gráfico de barras contíguas, isto é, formado por um conjunto de retângulos justapostos. No eixo das abscissas (x) marcamos as classes, cujas amplitudes correspondem às bases dos retângulos ou, se preferir, podemos marcar os pontos médios de cada classe. No eixo das ordenadas (y) marcamos as frequências absolutas, que correspondem às alturas dos retângulos. Os pontos médios das bases dos retângulos coincidem com os pontos médios dos intervalos das classes.

Exemplo 1

Exemplo 2

Um radar, instalado num trecho de uma rodovia, registrou as velocidades de 50 veículos. As velocidades, em quilômetros por hora, estão indicadas na tabela de distribuição de frequências:

Classe	Velocidade(km/h)	fi	Fi	fr (%)	Fr (%)
1	[50; 60[	3	3	6	6
2	[60; 70[	6	9	12	18
3	[70; 80[	8	17	16	34
4	[80; 90[	7	24	14	48
5	[90; 100[	8	32	16	64
6	[100; 110[	7	39	14	78
7	[110; 120[	4	43	8	86
8	[120; 130[	7	50	14	100

Construindo o histograma referente aos dadas da tabela temos:

9. Polígono de frequência

A partir de uma tabela de distribuição de frequências ou histograma é possível construir um polígono de frequências. O polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo construído a partir dos pontos médios dos intervalos de classes (eixo das abscissas) e as frequências absolutas (eixo das ordenadas). Unindo os pontos obtidos por meio de segmentos de reta formamos o polígono.

Exemplo 1

Anteriormente, vimos o seguinte histograma:

Exemplo 2

A partir da tabela e do histograma (exemplo 2), em que tratava de um radar, instalado num trecho de uma rodovia, que registrou as velocidades de 50 veículos, podemos construir o polígono de frequências:

10. Comparação entre histograma e polígono de frequências

Exemplo

Considere as idades de 50 funcionários de uma empresa, agrupados conforme a tabela a seguir:

Observe que no gráfico anterior, devido ao efeito 3D, é um pouco complicado percebermos as diferenças absolutas entre as quantidades de acidentes. E, pior ainda, esse gráfico pode nos levar a conclusões falsas.

Perceba que facilmente podemos concluir que a quantidade de colisões / abalroamentos (1ª coluna) foi inferior a 200. Porém, observe o verdadeiro valor na tabela: 204. O gráfico está correto, e nenhum dado foi modificado. O que se fez foi “girar” de maneira adequada a gerar uma ilusão de ótica fazendo com que o leitor acredite que essa coluna possui uma quantidade inferior a 200.  

Para “corrigir” esse problema, podemos utilizar, como alternativa, a exibição dos valores acima de cada coluna (no Excel, essa opção é conhecida como rótulo de colunas):

13. Lista de Exercícios

1) O consumo de proteína é um grande indicador de prosperidade. Dados preliminares indicam que cada brasileiro vai consumir, em média, 40 quilos de carne neste ano. A explicação para isso é o crescimento do PIB. O consumo deve aumentar também nas classes mais altas, em que os produtores informam ter havido uma onda anticarne vermelha, que parece ter acabado.

a) Quantos clientes foram pesquisados?

b) Qual a porcentagem de clientes que alocaram um percentual de recursos superior a 18 em aplicações de risco.

4) A tabela a seguir  apresenta  as  vendas  de determinado  aparelho  elétrico, durante um  mês, por uma firma comercial:

vendas	frequência
10	1
11	3
12	4
13	5
14	7
15	2
16	1
17	1

Apresente os resultados em um gráfico de colunas.

5) Lançou-se um dado 100 vezes, obtendo-se os seguintes resultados:

resultado	frequência
1	18
2	15
3	17
4	16
5	16
6	18

Apresentar os resultados em um gráfico de barras.

6) Construa o histograma e o polígono de frequência da tabela abaixo:

Pesos (kg)	fi
40 I--- 44	2
44 I--- 48	5
48 I--- 52	9
52 I--- 56	6
56 I---60	4
Total	26

7) O quadro mostra a distribuição dos salários mensais de 40 empregados de uma firma.

Salário	Número de
(em reais)	empregados
[800, 900[	4
[900, 1 000[	10
[1 000, 1 100[	18
[1 100, 1 200[	5
[1 200, 1 300]	3

Nessa condições:

a) Quantos empregados ganham menos que R$ 1000,00 mensais?

b) Qual o índice, em porcentagem, de empregados que ganham R$ 1000,00 mensais ou mais?

c) Quantos empregados ganham entre R$ 800,00 (inclusive) e R$ 1200,00?

d) Qual o índice, em porcentagem, de empregados que ganham menos que R$1000,00 mensais?

e) Qual é a amplitude do intervalo de classe?

f) Elabore uma tabela de distribuição de frequências acumuladas, relativas e relativas acumuladas.

g) Construa o histograma de frequências.

8) No quadro a seguir estão registradas as massa, em quilograma, de 50 pessoas que frequentam uma academia de ginástica.

72	81	57	64	87	90	74	69	77	73
80	96	55	58	88	92	47	60	68	80
77	76	59	57	83	81	90	68	65	74
91	97	86	82	73	64	69	71	88	94
77	72	81	91	49	75	52	50	63	70

a) Faça uma tabela de distribuição de frequências absolutas e relativas. Utilize classes de amplitude 10 e limite inferior da primeira classe igual a 40.

b) Construa o histograma para a distribuição.

c) Calcule os pontos médios dos intervalos e represente a distribuição por meio de um polígono de frequências.

d) Represente essa distribuição por meio de um gráfico de setores.

9) O gráfico abaixo fornece o número de unidades vendidas de um produto em função do tempo (dados trimestrais):

a) Qual o aumento percentual de unidades vendidas do quarto trimestre de 1998 (IV/98) em relação ao mesmo período do ano anterior (IV/97)?  

b) Qual o aumento percentual de unidades vendidas do ano de 1998 em relação as do ano de 1997?

10) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 2000 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 250 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a este candidato?

12) As notas de 50 alunos foram agrupadas em classes conforme a tabela:

Notas	fi	fri	Fi	Fri	Ponto médio (xi)
30 |-  40	4
40 |- 50	6
50 |- 60	9
60 |- 70	11
70 |- 80	9
80 |- 90	7
90 |- 100	4
Total	50

a) Complete a tabela.

b) Qual a amplitude total?

c) Qual a amplitude de classe?

d) Construa um histograma.

13) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade, revelou os seguintes valores:

18	17	18	20	21	19	20	18	17	19
20	18	19	18	19	21	18	19	18	18
19	19	21	20	17	19	19	18	18	19
18	21	18	19	19	20	19	18	19	20
18	19	19	18	20	20	18	19	18	18

Determine as frequências absolutas relativas, frequências acumuladas e frequências acumuladas relativas.

14) Numa escola, os alunos devem optar por um, e somente um, dos três idiomas: inglês, espanhol ou francês. A distribuição da escolha de 180 alunos está indicada pelo gráfico a seguir. Sabendo que o ângulo do setor representado pelos alunos que escolheram inglês é 252º e que apenas 18 alunos optaram por estudar francês, determine:

15) (FGV-SP) No gráfico abaixo está representado, no eixo das abscissas (eixo horizontal), o número de fitas de vídeos alugadas por semana numa videolocadora, e no eixo das ordenadas (eixo vertical) a correspondente frequência (isto é, a quantidade de pessoas que alugaram os correspondentes números de fitas):

    a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais fitas?

    b) Se cada fita for alugada por R$ 4,00, qual a receita semanal da videolocadora?

16) (FCC-2012) Considere que a distribuição dos salários dos funcionários em um setor público está representada por um histograma conforme abaixo, em que no eixo vertical constam as densidades de frequências, em (R$)⁻¹. Densidade de frequência de um intervalo de classe é o resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.

Considerando que todos os intervalos de classes são fechados à esquerda e abertos à direita, a porcentagem P dos funcionários que ganham no mínimo R$ 2.000,00 e menos que R$ 6.000,00 é tal que

a) P ≤ 65%.

b) 65% < P ≤ 70%.

c) 70% < P ≤ 75%.

d) 75% < P ≤ 80%.

e) P > 80%.

21) (CEPERJ) Considere o quadro abaixo, que apresenta o número de crianças e adolescentes vacinados no 1º semestre de 2006, por faixa etária.

O percentual de programas que tiveram conceito mínimo igual a 4,0 é

a) 15,0%.

b) 28,5%.

c) 32,0%.

d) 34,6%.

e) 65,3%.

23) (CESGRANRIO) A variação percentual total do número de bolsas de mestrado concedidas pela Capes nesse período de oito anos foi

a) -14.4%.

b) - 8.8%.

c) 0,0%.

d) + 8,8%.

e) + 14,4%.

24) (CESGRANRIO) A amplitude do número de bolsas de doutorado oferecidas pela Capes nesse período foi

a) 672.

b) 1.280.

c) 1.298.

d) 2.204.

e) 2.443.

Considerando que os intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita, calcule a quantidade de cabos que possuem um comprimento de, pelo menos, 4m e inferior a 7m.

7) a) 14   b) 65%   c) 37   d) 35%   e) 100   f)

Salário (em reais)	Número de empregados (fi)	fri	Fi	Fri
[800, 900[	4	10%	4	10%
[900, 1 000[	10	25%	14	35%
[1 000, 1 100[	18	45%	32	80%
[1 100, 1 200[	5	12,5%	37	92,5%
[1 200, 1 300]	3	7,5%	40	100%

g)

8)

Massa (kg)	fi	Pt.médio	fri	Fi	Fri	Ângulo em graus do gráfico de setores
40 |-- 50	2	45	4%	2	4%	14,4°
50 |-- 60	7	55	14%	9	18%	50,4°
60 |-- 70	9	65	18%	18	36%	64,8°
70 |-- 80	13	75	26%	31	62%	93,6°
80 |-- 90	11	85	22%	42	84%	79,2°
90 |-- 100	8	95	16%	50	100%	57,6°
total	50	--	100%	--	--	360°

9) a) 33,33%    b) 30%     c) ângulo central = 156 graus para 1997 e igual a 204 graus para 1998.

10) 45°

13)

Idade (anos) xi	Nº de alunos (fi)	fri	Fi	Fri
17	3	0,06	3	0,06
18	18	0,36	21	0,42
19	17	0,34	38	0,76
20	8	0,16	46	0,92
21	4	0,08	50	1,00
Total	50	1,00	-	-

14) a) 36º        b) 36 alunos e 72º             

15) a) 31,25%        b) R$ 940,00

16) C

17) a) Ásia

b) 5,85 bilhões de dólares

c) 675 milhões de dólares

18) D

19) D

20) a) 0,8  1,5  1,6  1,8  2,1  2,3  2,4  2,5  3,0  3,9  4,0  4,0

b) 67, 68, 74, 75, 75, 78, 78, 78, 81, 83, 85, 85, 88, 88, 89, 90, 90, 90, 92, 94

21) B

22) E

23) B

24) A

25) 220 cabos