1. Introdução

Neste capítulo, apresentaremos outro método para fazer inferências sobre parâmetros populacionais. Em vez de calcular uma estimativa do parâmetro pontual ou por intervalo, iremos admitir um valor hipotético para um parâmetro populacional, e com base nas informações da amostra realizaremos um teste estatístico, para aceitar ou rejeitar o valor hipotético. Como a decisão para aceitar ou rejeitar a hipótese será tomada de acordo com elementos de uma amostra, fica evidente que a decisão estará sujeita a erros. Estaremos tomando decisões em condições de incerteza e, portanto, sujeitas a erro. Com base nos resultados obtidos em uma amostra, não é possível tomar decisões que sejam definitivamente corretas. Entretanto, como veremos adiante, podemos dimensionar a probabilidade (risco) da decisão de aceitar, ou rejeitar uma hipótese estatística.

2. Hipótese Estatística

Trata-se de uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de uma variável populacional.

São exemplos de hipóteses estatísticas:

– a altura média da população brasileira é de 1,65m;

– a proporção de paulistas com certa doença é de 40%;

– homens e mulheres realizam certa tarefa num mesmo intervalo de tempo.

3. Teste de Hipóteses

É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais.

Para testar um parâmetro populacional, devemos afirmar, cuidadosamente, um par de hipóteses: uma que represente a afirmação e outra que represente o seu complemento. Quando uma dessas hipóteses for falsa, a outra deve ser verdadeira. Essas duas hipóteses são chamadas de hipótese nula e hipótese alternativa.

4. Formulação da Hipótese Nula (H₀) e da Hipótese Alternativa (Hₐ)

A Hipótese Nula (H₀) é uma hipótese estatística que contém uma afirmação de igualdade, tal como ≤, = ou ≥.

A Hipótese Alternativa (Hₐ) é, geralmente, o complemento da Hipótese Nula. É a afirmação que deve ser verdadeira se H0 for falsa e contém uma afirmação de desigualdade estrita, tal como <,  ≠ ou >.

Em muitas situações, de acordo com os dados do problema, podemos formular as hipóteses da forma I ou II, ambas corretas; ou, ainda, I ou III, também ambas corretas. Porém, em situações críticas, é possível que obtenhamos conclusões diferentes se optarmos por uma ou por outra formulação.

Dizemos que o caso I corresponde a um teste bilateral ou  bicaudal. Os casos II, III, IV e V correspondem a testes unilaterais ou unicaudais.

5. Tipos de Erro e Nível de Significância

Em um teste de hipóteses, sempre partimos do pressuposto que a hipótese nula (H0) é verdadeira. Daí, podemos tomar uma destas decisões:

1) Aceitar H₀, rejeitando Hₐ ou

2) Rejeitar H₀, aceitando Hₐ.

Pelo fato de a decisão ser baseada em uma amostra ao invés de ser baseada na população, há sempre a possibilidade de tomarmos a decisão errada.

Por exemplo, suponha que você afirme que certa moeda seja tendenciosa. Para testar sua afirmação, você joga a moeda 100 vezes e obtém 49 caras e 51 coroas. Você provavelmente concordaria que não há evidência para apoiar sua afirmação. Mesmo assim, é possível que a moeda seja tendenciosa e você tenha um resultado incomum.

Mas, e se você joga a moeda 100 vezes e obtém 21 caras e 79 coroas? Seria uma ocorrência rara obter somente 21 caras de 100 jogadas com uma moeda imparcial. Então, você tem provavelmente evidências suficientes para apoiar sua afirmação de que a moeda é tendenciosa. Entretanto, você não pode ter 100% de certeza. É possível que a moeda seja imparcial e que você tenha obtido um resultado incomum.

Se p representa a proporção de caras, a afirmação "a moeda é tendenciosa" pode ser escrita como a afirmação matemática p ≠ 0,5. O complemento "a moeda é imparcial" é escrita como p = 0,5. Então, nossas hipóteses nula e alternativa são:

H₀: p  = 0,5

Hₐ: p ≠ 0,5 (afirmação)

Lembre-se, a única maneira de ter certeza absoluta se H₀  é verdadeira ou falsa é testar a população inteira. Pelo fato de sua decisão — rejeitar H₀  ou falhar em rejeitar H₀  (aceitar Hₐ) — ser baseada em uma amostra, você deve aceitar que sua decisão pode estar errada. Você pode rejeitar a hipótese nula quando ela é, na verdade, verdadeira. Ou, você pode falhar em rejeitar a hipótese nula (aceitando Hₐ) quando ela é, na verdade, falsa.

Há dois possíveis tipos de erros, quando realizamos um teste estatístico para aceitar ou rejeitar H₀. Podemos rejeitar a hipótese H₀ , quando ela é verda­deira, ou aceitar H₀, quando ela é falsa.

O erro de rejeitar H₀ , sendo H₀  verdadeira, é denominado Erro tipo I, e a probabilidade de se cometer o Erro tipo I é designada α ("alfa").

O erro de aceitar H₀ , sendo H₀  falsa, é denominado Erro tipo II, e a probabilidade de cometer o Erro tipo II é designada β ("beta").

Os possíveis erros e acertos de uma decisão com base em um teste de hipótese estatístico estão sintetizados no quadro a seguir:

6. Nível descritivo ou P–valor

Ao realizarmos um teste de hipóteses, partimos de um dado valor de α, pré-fixado, para construir a regra de decisão. Uma alternativa é deixar a cargo de quem vai utilizar as conclusões do teste a escolha do valor para a probabilidade α, que não precisará ser fixado à priori. A idéia consiste em calcular, supondo que a hipótese nula seja verdadeira, a probabilidade de se obter estimativas mais desfavoráveis ou extremas (à luz da hipótese alternativa) do que a que está sendo fornecida pela amostra. Esta probabilidade será o nível descritivo, denotado por P–valor (ou p-value , em inglês). Valores pequenos do P–valor evidenciam que a hipótese nula é falsa pois, sendo a amostra nossa ferramenta de inferência sobre a população, ela fornece uma estimativa que teria probabilidade muito pequena de acontecer, se H₀ fosse verdadeira. O conceito do que é "pequeno" fica a cargo do usuário, que assim decide qual a usar para comparar com o valor obtido do P–valor.

Quanto menor o P–valor do teste, mais evidência há para se rejeitar a hipótese nula. Um P–valor muito pequeno indica um evento incomum. Lembre–se, entretanto, que mesmo um P–valor muito baixo não constitui prova de que a hipótese nula é falsa, somente que esta é provavelmente falsa.

Para usar o P–valor na decisão de um teste de hipóteses, basta compararmos o P–valor com α:

1) Se P–valor ≤ α, então rejeitamos H₀.

2) Se P–valor > α, então aceitamos H₀.

Embora este seja um método para decidirmos sobre qual hipótese devemos aceitar, não trabalharemos com ele aqui. Usar o P–valor é muito comum quando estamos lidando com um software que nos fornece, nos resultados, o P–valor. Trabalharemos com um outro método, que se baseia em regiões críticas de decisão, conforme veremos mais adiante.