A partir de uma pesquisa, os resultados obtidos, chamados de dados brutos, estão de forma desordenada, geralmente na mesma ordem em que foram obtidos ao longo dessa pesquisa. Para começar a compreender melhor esses dados, é necessário fazer uma organização deles de modo a se conseguir extrair algumas informações para uma análise detalhada posterior a respeito das características de estudo.

A maneira mais elementar para se organizar inicialmente os dados provenientes de uma pesquisa é através da construção de tabelas, como veremos adiante.

Frequências relativas (f ri ) – são os valores das razões (quociente) entre as frequências simples e a frequência total multiplicada por 100 para que os dados sejam apresentados em porcentagem:

2º PASSO

Verificamos no ROL quais valores foram observados, ou seja, quais as notas que existem no ROL. Marcamos, em ordem crescente, esses valores na coluna dos valores observados (xi):

3º PASSO

Vamos completar a coluna das frequências absolutas (fi). A frequência absoluta de um certo valor corresponde a quantas vezes esse valor ocorreu um nosso conjunto de dados. Em nosso exemplo, a frequência absoluta corresponde a quantos alunos tirou determinada nota.

4º PASSO

Calculamos o total da coluna fi. Para isso, basta somar todos os valores que aparecem nessa coluna.

5º PASSO

Cálculo da frequência acumulada (Fi).Os valores dessa coluna tem como objetivo “acumular” a soma dos valores das frequências absolutas até a linha em questão. A ideia aqui é formar sempre um L, conforme veremos a seguir: o campo em verde é preenchido com a soma de todos os valores da coluna amarela.

6º PASSO

Calcularemos, agora, as frequências relativas absolutas (fri). Para calcular, devemos dividir, para cada linha da tabela, a frequência absoluta (fi) pelo total (n). O resultado da divisão poderá ser multiplicado por 100 de modo a ser apresentado na forma de porcentagem. Nos exemplos a seguir, dividimos a célula indicada em amarelo pelo total da coluna (indicado em vermelho). O resultado foi multiplicado por 100 e colocado na célula azul.

Fazemos, aqui, (1 / 25) x 100 = 4%:

Fazemos, aqui, (3 / 25) x 100 = 12%:

Fazemos, aqui, (4 / 25) x 100 = 16%:

Prosseguimos com o mesmo procedimento até a última linha da tabela. Neste caso, fazemos (2 / 25) x 100 = 8%:

7º PASSO

Cálculo da coluna de frequências relativas acumuladas (Fri). Esta coluna pode ser calculada com base na coluna de frequências relativas absolutas (fri), de modo análogo ao que fizemos no 5º PASSO. Veja alguns resultados:

A tabela de frequências completa será:

Uma alternativa à construção da tabela anterior seria a de colocar os valores das frequências relativas absolutas (fri) e acumuladas (Fri) na forma decimal, ou seja, no cálculo, basta não multiplicarmos o resultado da divisão por 100 conforme explicado anteriormente. Nesse caso, todos os valores estariam dentro do intervalo de 0 a 1. Consequentemente, a soma dos valores da coluna fri seria exatamente 1. Nossa tabela ficaria:

Exemplo

Consideremos o seguinte ROL:

16, 18, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 23, 25,  25, 26, 26, 29, 30.

Vamos construir três tabelas, apenas para compararmos as formas de agrupamento de acordo com a representação utilizada:

Tabela 1

Tabela 2

Tabela 3

Embora as três tabelas estejam corretas, o mais comum é trabalharmos com um padrão, conforme ocorre nas tabelas 1 e 2. Dentre esses dois padrões, o mais comum é o da tabela 1. Note que na última classe da tabela 1, fechamos os dois extremos, visto que o valor 30 pertencia ao nosso conjunto de dados brutos representados no ROL e esse valor corresponde ao maior valor da última classe da tabela. Assim, a última classe ficou com intervalo fechado tanto a esquerda quanto a direita. Isso pode, e deve, ser feito, quando o maior valor do ROL coincidir com o valor representado na última classe evitando que precisemos criar uma nova classe para inserir um único valor.

1°) Classes desiguais: critério subjetivo

As classes variam segundo os interesses do pesquisador. No exemplo, foram construídas 6 classes, de acordo com algumas fases da vida. As classes apresentam tamanhos (amplitudes) diferentes:

Essa fórmula pode ser “resumida” na tabela a seguir:

Em nosso caso, n = 200. Logo:

k = 1 + 3,3.log 200

k = 1 + 3,3 . 2,3010

k = 1 + 7,5933

k = 8,5933 que arredondaremos para 9

A amplitude de cada classe é

h = (70 - 10) / 9 = 6,6 que arredondamos para 7.

Finalmente, as classes são:

Observando a tabela, temos que:

- Total de dados: n=80.

- Limite inferior (ou valor mínimo): LI = 5,1.

- Limite superior (ou valor máximo): LS = 14,9.

- Amplitude total: AT = LS - LI = 14,9 - 5,1 = 9,8

- Número de classes (fórmula de Sturges):

k = 1 + 3,3 . log n

k = 1 + 3,3 . log 80

k = 7,28

Arredondando, temos: k = 7.

- Amplitude do intervalo de cada classe:

h = 9,8/7 = 1,4

Quando necessário, arredondar o valor de h sempre para mais.

A partir desse resultado, construímos a tabela:

Em nosso exemplo:

O tamanho de cada classe é

5°) Critério da desigualdade: k é o menor inteiro tal que 2^k ≥ n

O objetivo deste critério é encontrar o menor número de classes (k) de modo que 2 elevado a esse valor k seja maior ou igual ao tamanho da amostra (n).

10. Alguns problemas na montagem das classes

Vejamos alguns exemplos que nos permitam verificar alguns problemas que ocorrem com certa frequência na escolha das classes a serem utilizadas.

Na tabela A, foi mantida a mesma amplitude de intervalo de classe (R$ 100) em toda a tabela. Como resultado, há muitas classes com frequência igual a zero e os detalhes são “escassos” para salários altos.

Na tabela B, as classes vazias e os detalhes escassos foram evitados mediante emprego do intervalo aberto “1200 ou mais”. A desvantagem disso é que a tabela torna inaplicável a realização de certos cálculos matemáticos.

Na tabela C, foi adotada uma amplitude do intervalo de classe igual a R$ 200. Uma desvantagem é que desaparecem muitas informações referentes aos salários menores e os detalhes ainda são escassos para salários mais altos.

Na tabela D, foram empregadas amplitudes de intervalo de classe desiguais. Uma desvantagem é que certos cálculos matemáticos (quando feitos sem o auxílio de um computador) perdem a simplicidade. Também, quanto maior for a amplitude do intervalo de classe, tanto maior será o erro de agrupamento.

11. Comparação da Regra de Sturges com outros critérios

A Regra de Sturges é uma das regras mais utilizadas na Estatística. Isso porque a fórmula de Sturges nos fornece uma quantidade adequada de classes para os mais variados tamanhos de amostras.

Existem várias regras e critérios para a determinação do número de classes. Aqui, estudamos, além da Regra de Sturges, o critério da Raiz Quadrada e o critério da Desigualdade. É importante notar que dependendo do critério adotado e do tamanho da amostra, teremos quantidade de classes diferentes para cada critério. Na tabela a seguir, podemos comparar os resultados para cada um dos três critérios considerando amostras de tamanhos 20, 200, 2000 e 20000:

Perceba que o critério da Raiz Quadrada só é adequado para valores pequenos de n (funciona bem para valores de n menores que 100 ou, no máximo, 150). Já o critério da Desigualdade e a Regra de Sturges, nos fornecem resultados muito próximos. Porém, devido à dificuldade em se calcular o valor de k no critério da Desigualdade, geralmente acabamos por optar em trabalhar com a Regra de Sturges.

Nessas condições, elabore um quadro de distribuição de frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas.

3) A cantina de uma escola selecionou 50 alunos ao acaso e verificou o número de vezes por semana que eles compravam lanche., obtendo os seguintes resultados: 0; 2; 2; 4; 3; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 1; 0; 1; 1 ; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 2; 2; 2; 0; 2; 2; 1; 1; 0; 2; 0; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 1; 2; 5; 4.

a) Construa uma tabela de distribuição de frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas com esses dados.

b) Quantos alunos compram pelo menos 2 lanches por semana?

4) Numa pesquisa de opinião pública com 800 telespectadores sobre o programa de televisão de sua preferência, obteve-se a seguinte tabela de frequências absolutas:

Construa uma tabela com distribuição de frequências relativas.

5) Um dado foi jogado 20 vezes. Em cada jogada foram obtidos os seguintes pontos: 1, 5, 6, 5, 2, 2, 2, 4, 6, 5, 2, 3, 3, 1, 6, 6, 5, 5, 4, 2.

a) Elabore um quadro com distribuição de frequências absolutas, frequências absolutas acumuladas, frequências relativas e frequências relativas acumuladas.

b) Quantas vezes o número 3 foi obtido no dado?

c) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5?

d) Qual o índice, em porcentagem, em que o número 6 foi obtido no dado?

e) Qual o índice, em porcentagem, em que números maiores que 4 foram obtidos?

6) Veja os principais motivos alegados por 30 000 devedores, pesquisados em uma região metropolitana, ao justificar atrasos do crediário ou cheques sem fundo

7) A tabela abaixo apresenta as vendas de determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial. Apresente os resultados numa distribuição de frequência discreta.

        14   12   11   13   14   13

        12   14   13   14   11   12

        12   14   10   13   15   11

        15   13   16   17   14   14

Baseado na tabela, responda:

a) Qual a amplitude total?

b) Qual a amplitude de classe?

c) Qual o limite inferior da segunda classe?

d) Qual o limite superior da terceira classe?

e) Quantos funcionários ganham pelo menos R$ 1100,00?

f) Qual a porcentagem de funcionários que ganha no máximo R$ 900,00?

Com referência a essa tabela, determine:

a) A amplitude total.

b) O limite superior da quinta classe.

c) O limite inferior da oitava classe.

d) O ponto médio da sétima classe (xi).

e) A amplitude do intervalo da segunda classe.

f) A frequência da quarta classe.

g) A frequência relativa da sexta classe.

h) A frequência acumulada da quinta classe.

i) O número de lotes cuja área não atinge 700m².

j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m².

k) A porcentagem dos lotes cuja área não atinge 600m².

l)  A classe do 72º lote.

m) A porcentagem dos lotes cuja área é de 500 m², no mínimo, mas inferior a 1000 m² .

n) A porcentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m².

11) Complete a tabela de frequência a seguir:

12) Foi realizada uma entrevista com 30 pessoas a respeito do número de irmãos que elas possuíam. Os resultados são apresentados no ROL: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5.

a) Construa uma tabela com as frequências absolutas, frequências absolutas acumuladas e frequências relativas.

b) Quantas pessoas possuem pelo menos 2 irmãos?

c) Qual a porcentagem de pessoas que possui no máximo 1 irmão?

d) Quantas pessoas tem menos que 3 irmãos?

13) Os pesos de 40 alunos de uma classe estão descritos abaixo:

69     57     72     54     93     68     72     58     64     62  

65     76     60     49     74     59     66     83     70     45

60     81     71     67     63     64     53     73     81     50

67     68     53     75     65     58     80     60     63     53

Pede-se:

a) Dispor os dados em um rol;

b) Construir uma distribuição de frequência do tipo contínua utilizando a fórmula de Sturges. Dado: log 40 = 1,60.

14) No quadro a seguir estão registradas as massas, em quilograma, de 50 pessoas que frequentam uma academia de ginástica. Use a fórmula de Sturges.

15)  Conhecidas as notas de 50 alunos, obtenha uma distribuição de frequência com intervalos de classes iguais a 10 considerando o limite inferior da tabela igual a 30.

Determine:

a) a frequência relativa

b) a frequência acumulada

c) a frequência acumulada relativa

d) o intervalo de maior frequência

e) o limite inferior da 5a classe

f) a amplitude total da distribuição

g) quantas classes contém pelo menos 15% das observações?

h) quantos alunos obtiveram nota menor que 50?

i) quanto alunos obtiveram nota maior ou igual a 70?

j) qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota maior ou igual a 40 e menor que 60?

k) qual o limite superior da terceira classe?

l) qual o ponto médio da quarta classe?

m) qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 90?

n) qual a porcentagem de alunos que obteve nota pelo menos igual a 50?

16) Considerando os resultados de 100 lançamentos de um dado, forme uma distribuição de frequência com esses dados e depois responda às questões:

a) qual resultado teve a maior ocorrência?

b) qual a frequência do resultado que teve a menor ocorrência?

c) qual a porcentagem de lançamentos que obtiveram resultados menores que 5?

d) qual a frequência relativa do resultado 6?

e) quantas vezes o número obtido no dado foi maior que 1?

17) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade, revelou os seguintes valores:

Determine as frequências absolutas relativas, frequências acumuladas e frequências acumuladas relativas e, em seguida, responda:

a) quantas pessoas possuem idade igual a 17 anos?

b) qual a porcentagem de calouros com 18 anos?

c) qual a porcentagem de pessoas com idade maior ou igual a19 anos?

d) quantos alunos possuem idade entre 18 e 20, incluindo 18 e 20?

18) O Departamento Pessoal de certa firma fez um levantamento dos salários dos 150 funcionários do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados:

Com referência a essa tabela, determine:

a) determine as frequências simples relativas, frequências absolutas acumuladas e frequências relativas acumuladas.

b) a frequência da quinta classe.

c) a frequência relativa da oitava classe.

d) a frequência acumulada da sexta classe.

e) o número de funcionários que ganham até 10 salários (exclusive).

f) o número de funcionários que ganham pelo menos 12 salários.

g) a porcentagem dos funcionários que ganham menos de 8 salários.

h) a porcentagem dos funcionários que ganham no mínimo, 4 salários e no máximo, 16 salários (exclusive).

i) o intervalo de maior frequência.

j) a classe do 100º salário.

k) a classe do 142º salário.

l) a classe do 87º salário.

19) Considere as alturas de 30 pessoas, conforme tabela a seguir:

Determine:

a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente.

b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes.

c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes.

d) A percentagem de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes.

e) A percentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.

22) Complete o quadro de distribuição de frequências.

O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi:

    a) 178

    b) 182

    c) 184

    d) 188

    e) 191